Mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
sobre o corpo
que se decompõe como soma direta de subespaços
Queremos mostrar que
O conteúdo principal aqui é a relação entre soma direta e união de bases.
Passo 2
Para cada
, seja
uma base de
. Então por definição
Consideremos a união de todas essas bases:
Passo 3
Mostramos que
gera
. Seja
. Como a soma é direta, existe decomposição única
Cada
é combinação linear de vetores de
, logo
é combinação linear de vetores em
. Assim
.
Passo 4
Mostramos que
é linearmente independente. Suponha
Agrupando os termos em cada
fica
Como a soma é direta, a única forma de obter zero é
para todo
. Mas
é base de
, logo todos os
. Isso prova independência linear de
.
Passo 5
Concluímos que
é base de
. Portanto