Mostre que se V=W1 oplus W2 oplus cdots oplus Wp, então dimK V=sumi=1^p dimK Wi.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V sobre o corpo K que se decompõe como soma direta de subespaços
V = W1 oplus W2 oplus cdots oplus Wp
Queremos mostrar que
dimKV ;=;sumi=1^pdimKWi
O conteúdo principal aqui é a relação entre soma direta e união de bases.

Passo 2

Para cada i=1,2,dots,p, seja Bi uma base de Wi. Então por definição
#Bi ;=;dimKWi e Wi = span(Bi)
Consideremos a união de todas essas bases:
B ;=;cupi=1^pBi

Passo 3

Mostramos que B gera V. Seja vin V. Como a soma é direta, existe decomposição única
v = w1 + w2 + cdots + wp, wiin Wi
Cada wi é combinação linear de vetores de Bi, logo v é combinação linear de vetores em B. Assim span(B)=V.

Passo 4

Mostramos que B é linearmente independente. Suponha
sumi=1^psumbin Bi alphab,b ;=;0
Agrupando os termos em cada Wi fica
u1 + u2 + cdots + up = 0, ui=sumbin Bialphab,bin Wi
Como a soma é direta, a única forma de obter zero é ui=0 para todo i. Mas Bi é base de Wi, logo todos os alphab=0. Isso prova independência linear de B.

Passo 5

Concluímos que B é base de V. Portanto
dimKV ;=;#B ;=;sumi=1^p#Bi ;=;sumi=1^pdimKWi

Resposta

dimKV ;=;sumi=1^pdimKWi

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