Sejam V=F(R, R), W1=f in V: f(x)=f(-x), forall x in R e W2=f in V : f(-x)=-f(x), forall x in R. Prove que W1 e W2 são subespaços de V e V=W1 oplus W2.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = F(R,R)
e dois subconjuntos
W1 = ,fin V : f(x)=f(-x),;forall xinR
e
W2 = ,fin V : f(-x)=-f(x),;forall xinR.
O conteúdo é teoria de subespaços e soma direta. Precisamos mostrar:
  1. W1 e W2 são subespaços de V (contêm o zero, fecham em soma e multiplicação escalar).
  2. V = W1 + W2 e W1cap W2 = 0, o que implica V = W1oplus W2

Passo 2

Mostramos que W1 é subespaço de V.
  • O zero de V (função 0) satisfaz 0(x)=0=0(-x), logo 0in W1.
  • Se f,gin W1, então para todo x,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
então f+gin W1.
  • Se alphainR e fin W1,
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin W1.

Passo 3

Mostramos que W2 é subespaço de V.
  • A função zero satisfaz 0(-x)=0=-0= -0(x), então 0in W2.
  • Se f,gin W2, para todo x,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x),
logo f+gin W2.
  • Se alphainR e fin W2,
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,(-f(x))=-(alpha f)(x),
então alpha fin W2.

Passo 4

Mostramos que V = W1 + W2. Para cada fin V, definimos funções fe e fo por
fe(x)=f(x)+f(-x)2,
fo(x)=f(x)-f(-x)2
Então:
  • fein W1 porque
    fe(-x)=tfracf(-x)+f(x)2=fe(x).
  • foin W2 porque
    fo(-x)=tfracf(-x)-f(x)2=-tfracf(x)-f(-x)2=-fo(x).
  • E claramente
fe(x)+fo(x) =f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2 =f(x)
Logo f=fe+foin W1+W2, e como f era genérico, V=W1+W2.

Passo 5

Mostramos que W1cap W2=0. Se fin W1cap W2, então
f(-x)=f(x)e f(-x)=-f(x)
Logo f(x)=-f(x) para todo x, isto é, f(x)=0. Assim f é a função zero, e a interseção é trivial.

Resposta

W1 e W2 são subespaços de V e
V = W1 oplus W2

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