Sejam
e
:
. Prove que
e
são subespaços de
e
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e dois subconjuntos
e
.
O conteúdo é teoria de subespaços e soma direta. Precisamos mostrar:
e dois subconjuntos
e
O conteúdo é teoria de subespaços e soma direta. Precisamos mostrar:
-
e são subespaços de (contêm o zero, fecham em soma e multiplicação escalar). -
e , o que implica
Passo 2
Mostramos que
é subespaço de
.
- O zero de
(função ) satisfaz , logo . - Se
, então para todo ,
então
.
- Se
e ,
logo
.
Passo 3
Mostramos que
é subespaço de
.
- A função zero satisfaz
, então . - Se
, para todo ,
logo
.
- Se
e ,
então
.
Passo 4
Mostramos que
. Para cada
, definimos funções
e
por
Então:
-
porque
. -
porque
. - E claramente
Logo
, e como
era genérico,
.
Passo 5
Mostramos que
. Se
, então
Logo
para todo
, isto é,
. Assim
é a função zero, e a interseção é trivial.