Determine todas as soluções inteiras da equação
Passo 1
A questão pede pra gente achar todas as soluções inteiras da equação 1257x + 108y = 54. Isso é uma equação diofantina linear: vamos precisar calcular o MDC entre 1257 e 108 e depois usar o algoritmo de Euclides estendido.
Passo 2
Calculamos o MDC de 1257 e 108 pelo algoritmo de Euclides:
1257 = 108·11 + 69
108 = 69·1 + 39
69 = 39·1 + 30
39 = 30·1 + 9
30 = 9·3 + 3
9 = 3·3 + 0
Logo, mdc(1257,108) = 3.
1257 = 108·11 + 69
108 = 69·1 + 39
69 = 39·1 + 30
39 = 30·1 + 9
30 = 9·3 + 3
9 = 3·3 + 0
Logo, mdc(1257,108) = 3.
Passo 3
Como 3 divide 54, a equação tem solução. Dividimos tudo por 3 para simplificar:
Passo 4
Aplicamos o algoritmo de Euclides estendido a 419 e 36 para achar uma combinação linear que dê 1. Fazendo a retro-substituição obtemos:
Multiplicando por 18 resulta em
Ou seja, uma solução particular é (x₀,y₀) = (198, –2304).
Passo 5
A forma geral da solução de a x + b y = c é
com k ∈ ℤ. Aqui a = 419, b = 36, d = 1, então
Passo 6
Podemos simplificar o particular reduzindo x₀ módulo 36: 198 ≡ 18 (mod 36). Isso dá y₀ = -209. Então uma forma mais enxuta é
com k ∈ ℤ, e esses são todos os pares inteiros que resolvem a equação original.
Resposta
As soluções inteiras são
(x,y) = (18 + 36k,; -209 - 419k), com k ∈ ℤ.
(x,y) = (18 + 36k,; -209 - 419k), com k ∈ ℤ.