Determine todas as soluções inteiras da equação
1257 x+108 y=54

Passo 1

A questão pede pra gente achar todas as soluções inteiras da equação 1257x + 108y = 54. Isso é uma equação diofantina linear: vamos precisar calcular o MDC entre 1257 e 108 e depois usar o algoritmo de Euclides estendido.

Passo 2

Calculamos o MDC de 1257 e 108 pelo algoritmo de Euclides:
1257 = 108·11 + 69
108 = 69·1 + 39
69 = 39·1 + 30
39 = 30·1 + 9
30 = 9·3 + 3
9 = 3·3 + 0
Logo, mdc(1257,108) = 3.

Passo 3

Como 3 divide 54, a equação tem solução. Dividimos tudo por 3 para simplificar:
419x + 36y = 18

Passo 4

Aplicamos o algoritmo de Euclides estendido a 419 e 36 para achar uma combinação linear que dê 1. Fazendo a retro-substituição obtemos:
419cdot 11 - 36cdot 128 = 1
Multiplicando por 18 resulta em
419cdot 198 - 36cdot 2304 = 18
Ou seja, uma solução particular é (x₀,y₀) = (198, –2304).

Passo 5

A forma geral da solução de a x + b y = c é
x = x₀ + bd k, y = y₀ - ad k,
com k ∈ ℤ. Aqui a = 419, b = 36, d = 1, então
x = 198 + 36k, y = -2304 - 419k

Passo 6

Podemos simplificar o particular reduzindo x₀ módulo 36: 198 ≡ 18 (mod 36). Isso dá y₀ = -209. Então uma forma mais enxuta é
x = 18 + 36k, y = -209 - 419k,
com k ∈ ℤ, e esses são todos os pares inteiros que resolvem a equação original.

Resposta

As soluções inteiras são
(x,y) = (18 + 36k,; -209 - 419k), com k ∈ ℤ.

Exercícios relacionados