Mostre, sem construir, que os seguintes números reais são construtíveis.
\sqrt[8]{\frac{5+\sqrt[4]{2}}{\sqrt[2]{3}}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, sem construir geometricamente, que o número real
\sqrt[8]{\frac{5+\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}}
é construtível. Informação dada: o número é a oitava raiz positiva do quociente entre 5+\sqrt[4]{2} e \sqrt{3}. Não há outras condições ocultas. Nosso objetivo final é provar que esse número pertence ao conjunto dos números construtíveis.

Passo 2

Definição e ideia principal (explicação didática): um número real é dito construtível por régua e compasso se pode ser obtido a partir de números racionais usando um número finito de operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação, divisão) e extrações de raiz quadrada. Em linguagem de corpos (campo), isso quer dizer que o número pertence a uma extensão de \mathbb{Q} obtida por uma torre finita de extensões quadráticas, isto é, um corpo obtido por sucessivos adjuntos de raízes quadradas. Portanto, para provar que um número é construtível basta mostrar que ele pode ser obtido a partir de números racionais por um número finito de operações aritméticas e extrações de raiz quadrada (possivelmente iteradas).

Passo 3

Mostrando que \sqrt{2} e \sqrt{3} são construtíveis (passo básico): números racionais (como 2 e 3) são triviais, e a extração de raiz quadrada de um racional positivo resulta em um número construtível, pois podemos aduir \sqrt{2} e \sqrt{3} por uma única extensão quadrática sobre \mathbb{Q}. Em termos práticos e didáticos: a partir de 2 obtemos \sqrt{2} por uma extração de raiz quadrada; o mesmo para 3. Então ambos são construtíveis.

Passo 4

Mostrando que \sqrt[4]{2} é construtível (explicação passo a passo): observe que
\sqrt[4]{2}=\sqrt{\sqrt{2}}.
Já sabemos que \sqrt{2} é construtível (Passo 3). Agora, tomar a raiz quadrada de um número que já é construtível produz outro construtível, porque isso corresponde a aduir mais uma extensão quadrática (tomar \sqrt{\cdot}). Assim, primeiro obtemos \sqrt{2} (uma extensão quadrática) e em seguida obtemos \sqrt{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2} (segunda extensão quadrática). Portanto \sqrt[4]{2} é construtível. (Didaticamente: duas extrações sucessivas de raiz quadrada equivalem a uma torre de duas extensões quadráticas.)

Passo 5

Mostrando que o numerador 5+\sqrt[4]{2} e o quociente \dfrac{5+\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}} são construtíveis: o número racional 5 é construtível. Soma de números construtíveis é construtível, logo
5+\sqrt[4]{2}
é construtível (pois \sqrt[4]{2} é construtível pelo Passo 4). A divisão por um número construtível não nulo também preserva construtibilidade, e \sqrt{3} é construtível (Passo 3). Portanto
u:=\frac{5+\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}
é construtível. Em linguagem de corpos: se a,b são construtíveis e b\neq0 então a/b está no mesmo corpo gerado por essas adjunções quadráticas.

Passo 6

Obter a oitava raiz por extrações sucessivas de raiz quadrada: dado o número construtível u do Passo 5, podemos construir sua raiz quadrada \sqrt{u} (uma extensão quadrática), depois \sqrt{\sqrt{u}}=u^{1/4} (segunda extensão) e finalmente \sqrt{\sqrt{\sqrt{u}}}=u^{1/8} (terceira extensão). Portanto
\sqrt[8]{\frac{5+\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\sqrt{\sqrt{u}}}
é obtido por três extrações quadráticas sucessivas a partir de u. Cada extração é permitida nas construções com régua e compasso, então o número pedido é construtível.

Passo 7

Resumo da construção em termos de torre de extensões (para fixar a ideia): começamos com \mathbb{Q}. Adicionamos \sqrt{2} (primeira extensão quadrática), depois \sqrt{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2} (segunda extensão), depois \sqrt{3} (ou poderíamos ter adicionado antes; ordem não importa para a ideia) — com isso obtemos u=(5+\sqrt[4]{2})/\sqrt{3} no corpo gerado. Finalmente, fazemos três adjunções sucessivas de raízes quadradas de u para obter u^{1/8}. Todas as adjunções são quadráticas, logo a extensão total tem grau uma potência de 2, como exige a teoria dos números construtíveis. Assim o número é construtível.

Resposta

O número \sqrt[8]{\dfrac{5+\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}} é construtível.

Exercícios relacionados