Mostre, sem construir, que os seguintes números reais são construtíveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, sem construir geometricamente, que o número real
é construtível. Informação dada: o número é a oitava raiz positiva do quociente entre
e
. Não há outras condições ocultas. Nosso objetivo final é provar que esse número pertence ao conjunto dos números construtíveis.
Passo 2
Definição e ideia principal (explicação didática): um número real é dito construtível por régua e compasso se pode ser obtido a partir de números racionais usando um número finito de operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação, divisão) e extrações de raiz quadrada. Em linguagem de corpos (campo), isso quer dizer que o número pertence a uma extensão de
obtida por uma torre finita de extensões quadráticas, isto é, um corpo obtido por sucessivos adjuntos de raízes quadradas. Portanto, para provar que um número é construtível basta mostrar que ele pode ser obtido a partir de números racionais por um número finito de operações aritméticas e extrações de raiz quadrada (possivelmente iteradas).
Passo 3
Mostrando que
e
são construtíveis (passo básico): números racionais (como
e
) são triviais, e a extração de raiz quadrada de um racional positivo resulta em um número construtível, pois podemos aduir
e
por uma única extensão quadrática sobre
. Em termos práticos e didáticos: a partir de
obtemos
por uma extração de raiz quadrada; o mesmo para
. Então ambos são construtíveis.
Passo 4
Mostrando que
é construtível (explicação passo a passo): observe que
Já sabemos que
é construtível (Passo 3). Agora, tomar a raiz quadrada de um número que já é construtível produz outro construtível, porque isso corresponde a aduir mais uma extensão quadrática (tomar
). Assim, primeiro obtemos
(uma extensão quadrática) e em seguida obtemos
(segunda extensão quadrática). Portanto
é construtível. (Didaticamente: duas extrações sucessivas de raiz quadrada equivalem a uma torre de duas extensões quadráticas.)
Passo 5
Mostrando que o numerador
e o quociente
são construtíveis: o número racional
é construtível. Soma de números construtíveis é construtível, logo
é construtível (pois
é construtível pelo Passo 4). A divisão por um número construtível não nulo também preserva construtibilidade, e
é construtível (Passo 3). Portanto
é construtível. Em linguagem de corpos: se
são construtíveis e
então
está no mesmo corpo gerado por essas adjunções quadráticas.
Passo 6
Obter a oitava raiz por extrações sucessivas de raiz quadrada: dado o número construtível
do Passo 5, podemos construir sua raiz quadrada
(uma extensão quadrática), depois
(segunda extensão) e finalmente
(terceira extensão). Portanto
é obtido por três extrações quadráticas sucessivas a partir de
. Cada extração é permitida nas construções com régua e compasso, então o número pedido é construtível.
Passo 7
Resumo da construção em termos de torre de extensões (para fixar a ideia): começamos com
. Adicionamos
(primeira extensão quadrática), depois
(segunda extensão), depois
(ou poderíamos ter adicionado antes; ordem não importa para a ideia) — com isso obtemos
no corpo gerado. Finalmente, fazemos três adjunções sucessivas de raízes quadradas de
para obter
. Todas as adjunções são quadráticas, logo a extensão total tem grau uma potência de
, como exige a teoria dos números construtíveis. Assim o número é construtível.
Resposta
O número
é construtível.