Mostre que, para todo número natural n, a fórmula
é válida.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a soma dos primeiros n números ímpares é igual a n². O conteúdo aqui é prova por indução matemática, e vamos precisar identificar a base de indução, a hipótese de indução e o passo de indução.
Passo 2
Verificamos a base de indução, isto é, para n=1. À esquerda temos 1 (único ímpar) e à direita temos 1²=1. Como 1=1, a fórmula vale para n=1.
Passo 3
Agora assumimos como hipótese de indução que a fórmula vale para um certo k≥1, ou seja,
Passo 4
Com essa hipótese, vamos provar que a fórmula vale para k+1. Somamos o próximo termo ímpar, que é 2(k+1)−1=2k+1, aos dois lados da igualdade da hipótese:
Passo 5
No lado direito, reescrevemos
Passo 6
Logo chegamos a
Passo 7
Pela base de indução e pelo passo de indução, a fórmula vale para todo n∈ℕ por princípio de indução.
Resposta
Para todo número natural n, vale