Mostre que, para todo número natural n, a fórmula
1+3+5+7+cdot+(2 n-1)=n^2
é válida.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma dos primeiros n números ímpares é igual a n². O conteúdo aqui é prova por indução matemática, e vamos precisar identificar a base de indução, a hipótese de indução e o passo de indução.

Passo 2

Verificamos a base de indução, isto é, para n=1. À esquerda temos 1 (único ímpar) e à direita temos 1²=1. Como 1=1, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Agora assumimos como hipótese de indução que a fórmula vale para um certo k≥1, ou seja,
1+3+5+cdots+(2k-1)=k^2

Passo 4

Com essa hipótese, vamos provar que a fórmula vale para k+1. Somamos o próximo termo ímpar, que é 2(k+1)−1=2k+1, aos dois lados da igualdade da hipótese:
l(1+3+cdots+(2k-1)r)+(2k+1)=k^2+(2k+1)

Passo 5

No lado direito, reescrevemos
k^2+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2

Passo 6

Logo chegamos a
1+3+cdots+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2, que é exatamente a fórmula para n=k+1. Isso conclui o passo de indução.

Passo 7

Pela base de indução e pelo passo de indução, a fórmula vale para todo n∈ℕ por princípio de indução.

Resposta

Para todo número natural n, vale
1+3+5+cdots+(2n-1)=n^2

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