Seja
uma coleção de números reais não negativos tal que
converge. Determine quais das seguintes séries necessariamente convergem (com prova), e quais podem tanto convergir quanto divergir dependendo da escolha de
(com exemplos).
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
de termos não negativos tal que
converge. A questão (a) pede para determinar se
necessariamente converge ou se pode divergir, e precisamos usar teoria de séries e o teste de comparação.
Passo 2
Como
converge e
, temos
. Logo existe
tal que para todo
vale
. Para esses
, como
temos
Então o retalho da série
é majorado por
que é finito pois é a cauda de uma série convergente. Os primeiros
termos de
formam uma soma finita. Portanto
converge por comparação.
Passo 3
Concluímos que independente da escolha dos
(desde que
converja e
), a série
converge sempre.
Resposta
A série
necessariamente converge.