Seja an: n in N uma coleção de números reais não negativos tal que sumn=1^infty an converge. Determine quais das seguintes séries necessariamente convergem (com prova), e quais podem tanto convergir quanto divergir dependendo da escolha de an (com exemplos).
(a) sumn=1^infty an^2

Passo 1

O enunciado dá uma sequência ann=1^infty de termos não negativos tal que sumn=1^infty an converge. A questão (a) pede para determinar se sumn=1^infty an^2 necessariamente converge ou se pode divergir, e precisamos usar teoria de séries e o teste de comparação.

Passo 2

Como sumn=1^infty an converge e an>=0, temos anto0. Logo existe N tal que para todo n>= N vale an<1. Para esses n, como 0<= an<1 temos
an^2 <= an
Então o retalho da série
sumn=N^infty an^2
é majorado por
sumn=N^infty an,
que é finito pois é a cauda de uma série convergente. Os primeiros N-1 termos de sum an^2 formam uma soma finita. Portanto sumn=1^infty an^2 converge por comparação.

Passo 3

Concluímos que independente da escolha dos an (desde que sum an converja e an>=0), a série sum an^2 converge sempre.

Resposta

A série sumn=1^infty an^2 necessariamente converge.

Exercícios relacionados