Seja
uma coleção de números reais não negativos tal que
converge. Determine quais das seguintes séries necessariamente convergem (com prova), e quais podem tanto convergir quanto divergir dependendo da escolha de
(com exemplos).
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de termos não negativos
tal que
converge. A tarefa é investigar a série
. Vamos usar teoria de convergência de séries e construir exemplos.
Passo 2
Primeiro, lembre que se
converge com
, então
. Logo
também. Mas o fato de os termos irem a zero é só condição necessária, não garante convergência.
Passo 3
Para mostrar que
pode divergir, escolhemos um exemplo clássico onde
decai rápido o suficiente para
mas não rápido o suficiente para
. Por exemplo, seja
Passo 4
Então claramente
converge (é a série p com
). Mas
Passo 5
Agora, para mostrar que
também pode convergir, basta um exemplo em que
decai geometricamente. Por exemplo, tome
Passo 6
Então a série original
é geométrica com razão
, logo converge. Além disso,
Passo 7
Isso também é série geométrica, agora com razão
. Pelo teste da razão,
converge.
Passo 8
Portanto, demos um caso em que
diverge e outro em que converge, mostrando que não há convergência obrigatória.
Passo 9
Concluímos que a convergência de
não impõe convergência nem divergência fixa em
. A série de raízes pode tanto divergir quanto convergir, dependendo da velocidade de decaimento de
.
Resposta
A série
pode tanto divergir quanto convergir, dependendo da escolha de
.