Seja an: n in N uma coleção de números reais não negativos tal que sumn=1^infty an converge. Determine quais das seguintes séries necessariamente convergem (com prova), e quais podem tanto convergir quanto divergir dependendo da escolha de an (com exemplos).
(b) sumn=1^infty raizan

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de termos não negativos an tal que sumn=1^infty an converge. A tarefa é investigar a série sumn=1^infty raizan. Vamos usar teoria de convergência de séries e construir exemplos.

Passo 2

Primeiro, lembre que se sum an converge com an>=0, então anto0. Logo raizanto0 também. Mas o fato de os termos irem a zero é só condição necessária, não garante convergência.

Passo 3

Para mostrar que sumraizan pode divergir, escolhemos um exemplo clássico onde an decai rápido o suficiente para sum an mas não rápido o suficiente para sumraizan. Por exemplo, seja
an = 1n^2

Passo 4

Então claramente sumn=1^infty an = sum 1/n^2 converge (é a série p com p=2>1). Mas
raizan = 1n,, e sum 1/n é a série harmônica, que diverge. Como 1/n é comparável a raizan, pelo teste da comparação direta temos que sumraizan diverge.

Passo 5

Agora, para mostrar que sumraizan também pode convergir, basta um exemplo em que an decai geometricamente. Por exemplo, tome
an = 12^n

Passo 6

Então a série original sum an = sum 1/2^n é geométrica com razão 1/2<1, logo converge. Além disso,
raizan = 1raiz2^n = l(tfrac1raiz2r)^n

Passo 7

Isso também é série geométrica, agora com razão 1/raiz2<1. Pelo teste da razão, sum (1/raiz2)^n converge.

Passo 8

Portanto, demos um caso em que sumraizan diverge e outro em que converge, mostrando que não há convergência obrigatória.

Passo 9

Concluímos que a convergência de sum an não impõe convergência nem divergência fixa em sumraizan. A série de raízes pode tanto divergir quanto convergir, dependendo da velocidade de decaimento de an.

Resposta

A série sumn=1^infty raizan pode tanto divergir quanto convergir, dependendo da escolha de an.

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