a) y^prime=e^x-2 y
b) x^2 y^2 d yd x=1+x^2
c) y^prime sen x+y cos x=1
d) y^prime=x^3-2 x y
e) (1-x y)+(x y-x^2) y^prime=0
f) (3 x^2 tg y-2 y^3x^3)+(x^3 sec ^2 y+4 y^3+3 y^2x^2) y^prime=0
g) x y^prime=y+raizx^2+y^2
h) (1+x^2) y^prime+x y+(1+x^2)^52=0
i) y^prime=yx+cos ^2(yx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y^{\prime} = e^{x - 2y} $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e envolve funções exponenciais. Para resolver esse tipo de equação, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
dydx = e^x - 2y
Podemos reescrever o lado direito da equação utilizando propriedades dos expoentes:
e^x - 2y = e^x cdot e^-2y
Então, a equação fica:
dydx = e^x cdot e^-2y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, vamos dividir ambos os lados por $ e^{-2y} $ e multiplicar por $ dx $:
y
Dessa forma, conseguimos separar $ y $ e $ x $ em lados diferentes da equação.

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral e^2y dy = integral e^x dx
Vamos resolver cada integral:
Para a integral do lado esquerdo:
integral e^2y dy = 12 e^2y + C1
Para a integral do lado direito:
integral e^x dx = e^x + C2

Passo 5

Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração ($ C = C_2 - C_1 $):
C = C2 - C1
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
12 e^2y = e^x + C
onde $ K = 2C $ é uma nova constante.

Passo 6

Para isolar $ y $, vamos tomar o logaritmo natural de ambos os lados:
y
Finalmente, dividimos ambos os lados por 2:
2y = ln(2e^x + K)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 12 ln(2e^x + C)
onde $ C $ é uma constante de integração.

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