a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y^{\prime} = e^{x - 2y} $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e envolve funções exponenciais. Para resolver esse tipo de equação, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Podemos reescrever o lado direito da equação utilizando propriedades dos expoentes:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, vamos dividir ambos os lados por $ e^{-2y} $ e multiplicar por $ dx $:
Dessa forma, conseguimos separar $ y $ e $ x $ em lados diferentes da equação.
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral:
Para a integral do lado esquerdo:
Para a integral do lado direito:
Passo 5
Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração ($ C = C_2 - C_1 $):
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
onde $ K = 2C $ é uma nova constante.
Passo 6
Para isolar $ y $, vamos tomar o logaritmo natural de ambos os lados:
Finalmente, dividimos ambos os lados por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante de integração.