Mostre que, para todo número natural n, a fórmula
2+4+6+8+cdot+2 n=n cdot(n+1)
é válida.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a soma dos primeiros n números pares, isto é, 2 + 4 + 6 + … + 2n, é igual a n(n+1). Vamos usar o princípio da indução matemática, que consiste em dois passos: base e passo indutivo.

Passo 2

Para n = 1, a soma dos primeiros 1 número par é apenas 2. De fato, temos
2 = 1 cdot (1 + 1) = 2
Logo, a fórmula vale para n = 1.

Passo 3

Suponha agora que, para um certo k ∈ ℕ, valha a fórmula
2 + 4 + dots + 2k = k(k + 1)
Isso é a hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que a fórmula vale para n = k+1. A soma dos primeiros k+1 números pares é a soma até 2k mais o próximo termo 2(k+1). Então:
2 + 4 + dots + 2k + 2(k+1) = l(k(k+1)r) + 2(k+1)
Aqui usamos a hipótese de indução para substituir a soma até 2k. Agora fatoramos:
k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)l(k + 2r)
Isso mostra que a fórmula vale para k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução, como a base n=1 é verdadeira e o passo indutivo foi concluído, a fórmula vale para todo n ∈ ℕ.

Resposta

A soma 2 + 4 + 6 + … + 2n é igual a n(n+1) para todo n natural.

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