Mostre que, para todo número natural n, a fórmula
é válida.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a soma dos primeiros n números pares, isto é, 2 + 4 + 6 + … + 2n, é igual a n(n+1). Vamos usar o princípio da indução matemática, que consiste em dois passos: base e passo indutivo.
Passo 2
Para n = 1, a soma dos primeiros 1 número par é apenas 2. De fato, temos
Logo, a fórmula vale para n = 1.
Passo 3
Suponha agora que, para um certo k ∈ ℕ, valha a fórmula
Isso é a hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que a fórmula vale para n = k+1. A soma dos primeiros k+1 números pares é a soma até 2k mais o próximo termo 2(k+1). Então:
Aqui usamos a hipótese de indução para substituir a soma até 2k. Agora fatoramos:
Isso mostra que a fórmula vale para k+1.
Passo 5
Pelo princípio da indução, como a base n=1 é verdadeira e o passo indutivo foi concluído, a fórmula vale para todo n ∈ ℕ.
Resposta
A soma 2 + 4 + 6 + … + 2n é igual a n(n+1) para todo n natural.