Mostre que, para todo número natural
, se
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para todo número natural
, se
, então
. Aqui, estamos trabalhando com fatoriais e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fatorial e comparar
com
para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é fatorial. O fatorial de um número natural
, representado por
, é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até
. Ou seja:
Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
para os primeiros valores de
e comparar os dois.
Para
:
Aqui,
que é menor que
, ou seja,
.
Para
:
Aqui,
que é menor que
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos analisar para
:
Aqui,
que é maior que
, ou seja,
.
Passo 5
Observando os cálculos, percebemos que para
e
,
é menor que
. Já para
,
é maior que
. Além disso, à medida que
aumenta além de 3, o fatorial cresce muito mais rápido que
, o que significa que
continuará sendo maior que
para todos os
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então necessariamente
.