Mostre que, para todo número natural n, se n!>(n+1) então n>2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para todo número natural , se , então . Aqui, estamos trabalhando com fatoriais e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fatorial e comparar com para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é fatorial. O fatorial de um número natural n! = n times (n-1) times (n-2) times dots times 2 times 1 , representado por , é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até . Ou seja:
Por exemplo, .

Passo 3

Agora, vamos calcular 1! = 1 e 1 + 1 = 2 para os primeiros valores de 2! = 2 times 1 = 2 e comparar os dois.
Para 2 + 1 = 3 :
Aqui, que é menor que , ou seja, .
Para :
Aqui, que é menor que , ou seja, .

Passo 4

Vamos analisar para 3! = 3 times 2 times 1 = 6 :
3 + 1 = 4
Aqui, que é maior que , ou seja, .

Passo 5

Observando os cálculos, percebemos que para e , é menor que . Já para , é maior que . Além disso, à medida que aumenta além de 3, o fatorial cresce muito mais rápido que , o que significa que continuará sendo maior que para todos os .

Resposta

Portanto, mostramos que se , então necessariamente .

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