Seja n um número inteiro. Mostre que se n^2-6 n+5 é par, então n é ímpar.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que se é par, então é ímpar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de paridade (números pares e ímpares) e propriedades de operações com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número é par se ele pode ser escrito como , onde é um inteiro. Um número é ímpar se pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, vamos supor que seja par e ver o que acontece com a expressão . Se conseguirmos mostrar que a expressão fica ímpar, isso vai provar que não pode ser par quando a expressão é par.

Passo 4

Se n^2 - 6n + 5 = (2k)^2 - 6(2k) + 5 = 4k^2 - 12k + 5 é par, então podemos escrever . Vamos substituir isso na expressão:

Passo 5

Vamos analisar a paridade de cada termo:
  • Par + Par + Ímpar = Ímpar é múltiplo de 4, logo é par.
  • é múltiplo de 12, também par.
  • é ímpar.
Somando dois números pares e um ímpar:
ÍÍ
Então, seria ímpar se fosse par.

Passo 6

Isso significa que se é par, nossa suposição de que é par levou a uma contradição (a expressão seria ímpar). Portanto, não pode ser par.

Passo 7

Se não é par, então ele deve ser ímpar.

Resposta

Portanto, se é par, então é ímpar.

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