Seja
um número inteiro. Mostre que se
é par, então
é ímpar.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que se
é par, então
é ímpar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de paridade (números pares e ímpares) e propriedades de operações com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número é par se ele pode ser escrito como
, onde
é um inteiro. Um número é ímpar se pode ser escrito como
.
Passo 3
Agora, vamos supor que
seja par e ver o que acontece com a expressão
. Se conseguirmos mostrar que a expressão fica ímpar, isso vai provar que
não pode ser par quando a expressão é par.
Passo 4
Se
é par, então podemos escrever
. Vamos substituir isso na expressão:
Passo 5
Vamos analisar a paridade de cada termo:
-
é múltiplo de 4, logo é par. -
é múltiplo de 12, também par. -
é ímpar.
Somando dois números pares e um ímpar:
Então,
seria ímpar se
fosse par.
Passo 6
Isso significa que se
é par, nossa suposição de que
é par levou a uma contradição (a expressão seria ímpar). Portanto,
não pode ser par.
Passo 7
Se
não é par, então ele deve ser ímpar.
Resposta
Portanto, se
é par, então
é ímpar.