Mostre que os pontos médios de todas as cordas congruentes de uma circunferência qualquer estãoem uma circunferencia concêntrica com a original e com raio igual à distância de uma corda ao centro; mostre também que as cordas são todas tangentes a esta circunferência interior. Desconsidere os diâmetros.

Passo 1

O enunciado nos dá uma circunferência de centro O e raio R, e pede para mostrar que, entre todas as cordas de comprimento fixo c (não diâmetros), os pontos médios estão numa circunferência de centro O e raio igual à distância de cada corda a O; além disso, cada corda deve ser tangente a essa “circunferência interior”. Vamos usar a geometria de triângulo retângulo que relaciona o raio, a meia-corda e a distância do centro à corda.

Passo 2

Seja AB uma corda de comprimento c e M seu ponto médio. Traçando o segmento OM perpendicular a AB, obtemos no triângulo retângulo OAM:
OA = R,\quad AM = \frac{c}{2},\quad OM = d.
Pelo Teorema de Pitágoras,
OM^2 + AM^2 = OA^2 \quad\Longrightarrow\quad d^2 + \Bigl(\frac{c}{2}\Bigr)^2 = R^2 \quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt{R^2 - \Bigl(\tfrac{c}{2}\Bigr)^2}\,.

Passo 3

A expressão de d não depende de qual corda escolhemos, só de R e c. Logo, para qualquer corda congruente de comprimento c, seu ponto médio M satisfaz \,OM = d. Isso mostra que todos esses pontos médios estão na circunferência de centro O e raio
d = \sqrt{R^2 - \Bigl(\tfrac{c}{2}\Bigr)^2}\,.

Passo 4

Para verificar a tangência, note que uma reta (o prolongamento de AB) é tangente a uma circunferência de centro O e raio d se a distância de O a essa reta for exatamente d. Mas já vimos que a distância de O à reta AB é OM = d. Portanto, cada corda AB toca a circunferência interior de raio d exatamente em M, provando que é tangente a ela.

Resposta

Os pontos médios de todas as cordas de comprimento c formam a circunferência concêntrica de raio
d = \sqrt{R^2 - \Bigl(\tfrac{c}{2}\Bigr)^2}
e cada corda é tangente a essa circunferência interior.

Exercícios relacionados