Mostre que os pontos médios de todas as cordas congruentes de uma circunferência qualquer estãoem uma circunferencia concêntrica com a original e com raio igual à distância de uma corda ao centro; mostre também que as cordas são todas tangentes a esta circunferência interior. Desconsidere os diâmetros.
Passo 1
O enunciado nos dá uma circunferência de centro
e raio
, e pede para mostrar que, entre todas as cordas de comprimento fixo
(não diâmetros), os pontos médios estão numa circunferência de centro
e raio igual à distância de cada corda a
; além disso, cada corda deve ser tangente a essa “circunferência interior”. Vamos usar a geometria de triângulo retângulo que relaciona o raio, a meia-corda e a distância do centro à corda.
Passo 2
Seja
uma corda de comprimento
e
seu ponto médio. Traçando o segmento
perpendicular a
, obtemos no triângulo retângulo
:
Pelo Teorema de Pitágoras,
Passo 3
A expressão de
não depende de qual corda escolhemos, só de
e
. Logo, para qualquer corda congruente de comprimento
, seu ponto médio
satisfaz
. Isso mostra que todos esses pontos médios estão na circunferência de centro
e raio
Passo 4
Para verificar a tangência, note que uma reta (o prolongamento de
) é tangente a uma circunferência de centro
e raio
se a distância de
a essa reta for exatamente
. Mas já vimos que a distância de
à reta
é
. Portanto, cada corda
toca a circunferência interior de raio
exatamente em
, provando que é tangente a ela.
Resposta
Os pontos médios de todas as cordas de comprimento
formam a circunferência concêntrica de raio
e cada corda é tangente a essa circunferência interior.