Mostre que todo subconjunto finito de
é fechado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo subconjunto finito de
é fechado. O conteúdo de topologia que vamos usar é a definição de conjunto fechado: um conjunto
é fechado se seu complemento
for aberto. Para isso, mostraremos que para qualquer ponto em
existe um intervalo centrado nele contido em
.
Passo 2
Seja
um subconjunto finito de
. Pegue um ponto arbitrário
Então
para todo
, o que implica que cada
. Definimos
Como cada
, temos
. Considere o intervalo
Para todo
vale
logo
e portanto
. Assim, cada ponto de
tem uma vizinhança aberta contida em
.
Passo 3
Como mostramos que todo ponto de
possui um intervalo aberto interno, concluímos que
é aberto. Pelo critério de fechado,
é fechado.
Resposta
Portanto, todo subconjunto finito de
é fechado.