Seja E um subconjunto de \mathbb{R}. Um subconjunto D \subset \mathbb{R} é dito denso em E se D \subset E \subset \bar{D}. Prove que se C é denso em D e D é denso em E, então C é denso em E.

Passo 1

O enunciado trabalha com o conceito de conjunto denso em \mathbb{R}. Lembrando a definição: um subconjunto D\subset\mathbb{R} é denso em E\subset\mathbb{R} se e somente se
D \subset E \subset \overline{D},
onde \overline{D} denota o fecho de D. Vamos usar ainda duas propriedades clássicas de fechos:
  1. Monotonicidade: se A\subset B então \overline{A}\subset \overline{B}.
  2. Idempotência: \overline{\overline{C}}=\overline{C}.

Passo 2

Da hipótese “ C é denso em D” temos
C \subset D \subset \overline{C}.
Da hipótese “ D é denso em E” temos
D \subset E \subset \overline{D}.

Passo 3

Mostramos primeiro que C\subset E. De C\subset D e D\subset E segue, pela transitividade de \subset, que C \subset E.

Passo 4

Agora mostramos que E\subset \overline{C}. Sabemos que E \subset \overline{D}
e, pela monotonicidade do fecho aplicado à inclusão D\subset \overline{C}, temos \overline{D}\subset \overline{\overline{C}}.
Mas pela idempotência \overline{\overline{C}}=\overline{C}. Logo
E \subset \overline{D} \subset \overline{C} \quad\Longrightarrow\quad E \subset \overline{C}.

Resposta

Como mostramos C\subset E\subset\overline{C}, concluímos que C é denso em E.

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