Classifique as seguintes matrizes, dizendo se são simétricas, anti-simétricas, hermiteanas, anti-hermiteanas ou unitárias.
\left[ ccc1 & i & 2 -1 & 0 & 1 2 & 1 & 3 i\right]

Passo 1

O enunciado pede para classificar a matriz
A = 1 & i & 2 [6pt] -1 & 0 & 1 [3pt] 2 & 1 & 3,i
como sendo simétrica, anti-simétrica, hermiteana, anti-hermiteana ou unitária. Para isso vamos usar as definições:
  • A^T (transposta) para testar simetria e anti-simetria;
  • A^dag>=r=(A^*)^T (transposta conjugada) para testar hermiticidade e unitariedade;
  • em caso de unitariedade, verificar se A^dag>=r A = I.]

Passo 2

Calculemos a transposta
A^T = 1 & -1 & 2 [3pt] i & 0 & 1 [3pt] 2 & 1 & 3,i
Para ser simétrica precisaríamos de A^T=A; já vemos que A12=ineq -1=A21, então não é simétrica.]

Passo 3

Para ser anti-simétrica precisaríamos de A^T=-A. Note que na diagonal teríamos que ter A11=0, mas aqui A11=1neq0, logo não é anti-simétrica.

Passo 4

Agora A^dag>=r (conjugada-transposta) é
A^dag>=r = 1 & -1 & 2 [3pt] -i & 0 & 1 [3pt] 2 & 1 & -3,i
Para ser hermiteana precisa A^dag>=r=A. Por exemplo, A12=i mas (A^dag>=r)12=-i, então não é hermiteana.]

Passo 5

Para ser anti-hermiteana precisaríamos ter A^dag>=r=-A. Isso exigiria A11 puramente imaginário ( A11=-A11), mas A11=1 é real e não satisfaz 1=-1. Logo não é anti-hermiteana.

Passo 6

Por fim, para ser unitária precisa valer A^dag>=r A=I. Basta examinar o elemento (1,1):
(A^dag>=r A)11 =sumk=1^3Ak1,Ak1 =|1|^2+|-1|^2+|2|^2 =1+1+4 =6neq1
Então A^dag>=r Aneq I, não é unitária.

Resposta

A matriz não é simétrica, nem anti-simétrica, nem hermiteana, nem anti-hermiteana e tampouco unitária.

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