Classifique as seguintes matrizes, dizendo se são simétricas, anti-simétricas, hermiteanas, anti-hermiteanas ou unitárias.
\left[
\right]
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Passo 1
O enunciado pede para classificar a matriz
como sendo simétrica, anti-simétrica, hermiteana, anti-hermiteana ou unitária. Para isso vamos usar as definições:
-
(transposta) para testar simetria e anti-simetria;A^T -
(transposta conjugada) para testar hermiticidade e unitariedade;A^dag>=r=(A^*)^T - em caso de unitariedade, verificar se
.]A^dag>=r A = I
Passo 2
Calculemos a transposta
Para ser simétrica precisaríamos de
A^T=A ; já vemos que
A12=ineq -1=A21 , então não é simétrica.]
Passo 3
Para ser anti-simétrica precisaríamos de
A^T=-A . Note que na diagonal teríamos que ter
A11=0 , mas aqui
A11=1neq0 , logo não é anti-simétrica.
Passo 4
Agora
A^dag>=r (conjugada-transposta) é
Para ser hermiteana precisa
A^dag>=r=A . Por exemplo,
A12=i mas
(A^dag>=r)12=-i , então não é hermiteana.]
Passo 5
Para ser anti-hermiteana precisaríamos ter
A^dag>=r=-A . Isso exigiria
A11 puramente imaginário (
A11=-A11 ), mas
A11=1 é real e não satisfaz
1=-1 . Logo não é anti-hermiteana.
Passo 6
Por fim, para ser unitária precisa valer
A^dag>=r A=I . Basta examinar o elemento
(1,1) :
Então
A^dag>=r Aneq I , não é unitária.
Resposta
A matriz não é simétrica, nem anti-simétrica, nem hermiteana, nem anti-hermiteana e tampouco unitária.