(a) Mostre que todo subespaço próprio de um espaço normado X tem interior vazio.
(b) Use o teorema de Baire para mostrar que não existem espaços de Banach de dimensão infinita e enumerável.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Em (a) temos um espaço normado X e um subespaço próprio Msubsetneq X. Precisamos mostrar que a parte interna de M (na métrica induzida pela norma) é vazia. Em (b) queremos usar o Teorema de Baire (que afirma que em um espaço de Banach completo uma união contável de conjuntos fechados com interior vazio não pode cobrir todo o espaço) para concluir que não existe espaço de Banach de dimensão infinita e enumerável.

Passo 2

Suponha que Msubsetneq X seja um subespaço próprio com interior não vazio. Então existe um ponto x0in M e um raio r>0 tais que a bola aberta
B(x0,r)=xin Xmid |x-x0|<r
está contida em M. Como M é subespaço, ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar, logo
B(0,r)=B(x0,r)-x0=y-x0mid yin B(x0,r)subset M

Passo 3

Para qualquer vetor xin X, escolha o escalar lambda = r2|x| (se xneq0; o caso x=0 é trivial). Então
|lambda x|=lambda,|x|=r2<r,
portanto lambda xin B(0,r)subset M. Como M é subespaço, multiplicar por lambda^-1 xin M. Concluímos que M=X, o que contradiz Msubsetneq X. Logo o interior de M deve ser vazio.

Passo 4

Para (b), suponha que X seja um espaço de Banach de dimensão infinita e enumerável. Então existe uma base de Hamel enmid ninN. Definamos
Mn=spane1,dots,en,
que é um subespaço de dimensão finita. Cada Mn é fechado em X e, pelo item (a), tem interior vazio. Assim a união
cupn=1^inftyMn
é uma união contável de fechados sem interior.

Passo 5

Como todo vetor de X é combinação linear finita de en, segue cupn=1^inftyMn=X. Mas o Teorema de Baire impede que um espaço completo seja união contável de fechados sem interior. Contradição. Portanto não existe espaço de Banach cuja dimensão seja infinita e enumerável.

Resposta

(a) Todo subespaço próprio de um espaço normado tem interior vazio.
(b) Não existem espaços de Banach de dimensão infinita e enumerável.

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