(a) Mostre que todo subespaço próprio de um espaço normado
tem interior vazio.
(b) Use o teorema de Baire para mostrar que não existem espaços de Banach de dimensão infinita e enumerável.
(b) Use o teorema de Baire para mostrar que não existem espaços de Banach de dimensão infinita e enumerável.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Em (a) temos um espaço normado
e um subespaço próprio
. Precisamos mostrar que a parte interna de
(na métrica induzida pela norma) é vazia. Em (b) queremos usar o Teorema de Baire (que afirma que em um espaço de Banach completo uma união contável de conjuntos fechados com interior vazio não pode cobrir todo o espaço) para concluir que não existe espaço de Banach de dimensão infinita e enumerável.
Passo 2
Suponha que
seja um subespaço próprio com interior não vazio. Então existe um ponto
e um raio
tais que a bola aberta
está contida em
. Como
é subespaço, ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar, logo
Passo 3
Para qualquer vetor
, escolha o escalar
(se
; o caso
é trivial). Então
portanto
. Como
é subespaço, multiplicar por
dá
. Concluímos que
, o que contradiz
. Logo o interior de
deve ser vazio.
Passo 4
Para (b), suponha que
seja um espaço de Banach de dimensão infinita e enumerável. Então existe uma base de Hamel
. Definamos
que é um subespaço de dimensão finita. Cada
é fechado em
e, pelo item (a), tem interior vazio. Assim a união
é uma união contável de fechados sem interior.
Passo 5
Como todo vetor de
é combinação linear finita de
, segue
. Mas o Teorema de Baire impede que um espaço completo seja união contável de fechados sem interior. Contradição. Portanto não existe espaço de Banach cuja dimensão seja infinita e enumerável.
Resposta
(a) Todo subespaço próprio de um espaço normado tem interior vazio.
(b) Não existem espaços de Banach de dimensão infinita e enumerável.
(b) Não existem espaços de Banach de dimensão infinita e enumerável.