Verifique que os vetores vecu e vecv não são paralelos e escreva o vetor vecw como combinação linear de vecu e v.
vecu=(1,2,-1), v=(1,0,1), w=(3,-2,-1).

Passo 1

O enunciado dá os vetores
vec u=(1,2,-1), vec v=(1,0,1) e vec w=(3,-2,-1).
Precisamos (a) verificar que vec u e vec v não são paralelos e (b) tentar escrever vec w como combinação linear
vec w = a,vec u + b,vec v.

Passo 2

Para checar paralelismo, suponha que exista lambda tal que
vec u = lambda,vec v
Isso implica em cada coordenada:
1 = lambdacdot1, 2 = lambdacdot0, -1 = lambdacdot1
Da segunda equação teríamos 2 = 0, o que é impossível. Logo não existe lambda satisfazendo todas, e vec u e vec v não são paralelos.

Passo 3

Para expressar vec w como a,vec u + b,vec v, montamos o sistema
a,(1,2,-1) + b,(1,0,1) = (3,-2,-1),
que dá as equações
a + b = 3, 2a = -2, -,a + b = -1

Passo 4

Da segunda equação segue
2a = -2 Longrightarrow a = -1
Substituindo na primeira,
-1 + b = 3 Longrightarrow b = 4
Mas na terceira equação teríamos
-(-1) + 4 = 1 + 4 = 5 neq -1,
logo há inconsistência no sistema.

Resposta

Não existem escalares a e b tais que vec w = a,vec u + b,vec v; ou seja, vec w não pode ser escrita como combinação linear de vec u e vec v.

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