- a) Mostre que, para todo
,
x-\frac{x{3}}{3!}+\frac{x{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}<\operatorname{sen} x
x-\frac{x{3}}{3!}+\frac{x{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}<\operatorname{sen} x
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
, vale
O conteúdo necessário é o Teorema de Taylor com resto de Lagrange aplicado à função
em torno de
.
Passo 2
Escrevemos o polinômio de Taylor de grau 7 de
em
. Denotando
temos pela fórmula de Taylor com resto que
onde
é o resto de Lagrange.
Passo 3
Pela forma de Lagrange, existe
entre
e
tal que
Como
para toda
, segue
Passo 4
Para
e
temos
. Logo
Assim
o que prova a desigualdade desejada.