1. a) Mostre que, para todo x>0,
    x-\frac{x{3}}{3!}+\frac{x{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}<\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo x>0, vale
x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} < \sin x.
O conteúdo necessário é o Teorema de Taylor com resto de Lagrange aplicado à função f(x)=\sin x em torno de 0.

Passo 2

Escrevemos o polinômio de Taylor de grau 7 de f(x)=\sin x em 0. Denotando
T_{7}(x) \;=\; x \;-\;\frac{x^{3}}{3!}\;+\;\frac{x^{5}}{5!}\;-\;\frac{x^{7}}{7!},
temos pela fórmula de Taylor com resto que
\sin x \;=\; T_{7}(x) \;+\; R_{7}(x),
onde R_{7}(x) é o resto de Lagrange.

Passo 3

Pela forma de Lagrange, existe \xi entre 0 e x tal que
R_{7}(x) =\frac{f^{(8)}(\xi)}{8!}\,x^{8}.
Como f^{(8)}(t)=\sin t para toda t, segue
R_{7}(x)=\frac{\sin(\xi)}{8!}\,x^{8}.

Passo 4

Para x>0 e \xi\in(0,x) temos \sin(\xi)>0. Logo
R_{7}(x)=\frac{\sin(\xi)}{8!}\,x^{8}>0.
Assim
\sin x = T_{7}(x)+R_{7}(x) > T_{7}(x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!},
o que prova a desigualdade desejada.

Resposta

x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} < \sin x \quad\text{para todo }x>0.

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