Calcule.
\int\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções do tipo x^{n} e de 1/x. Vamos usar as regras
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(\text{para }n\neq -1),
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert +C.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes, usando a linearidade:
\int\Bigl(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\Bigr)\,dx = \int \frac{2}{x}\,dx \;+\;\int \frac{3}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, fatoramos o 2:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\int \frac{1}{x}\,dx = 2\,\ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Para a segunda parte, escrevemos \frac{3}{x^{2}} = 3x^{-2} e aplicamos a regra de potência:
\int 3x^{-2}\,dx = 3\int x^{-2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -3x^{-1} = -\frac{3}{x}.

Passo 5

Somando as duas parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos
2\ln\lvert x\rvert \;-\;\frac{3}{x} \;+\;C.

Resposta

\int\Bigl(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\Bigr)\,dx = 2\ln\lvert x\rvert - \frac{3}{x} + C.

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