Uma onda estacionária em uma corda é representada pela função de onda y(x, t)=0,020 \cos \pi\left(\frac{1}{4} x\right) \sin \pi(40 t), onde todas as variáveis e constantes estão no S.I. A corda tem comprimento total de 10,0 \mathrm{~m} e possui uma extremidade fixa e a outra móvel. (a) Escreva as funções de onda para duas ondas progressivas que, quando superpostas, produzem esse padrão estacionário. (b) Qual é a distância entre os nós da onda estacionária? (c) Dada as condições do problema, a corda oscila em qual harmônico? (d) Determine a máxima velocidade da corda nas distâncias de 1,0 \mathrm{~m}, 2,0 \mathrm{~m} \mathrm{e} 2,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá a onda estacionária
y(x,t)=0{,}020\cos\!\bigl(\pi\tfrac{x}{4}\bigr)\,\sin\!\bigl(\pi\,40\,t\bigr)
em uma corda de comprimento L=10{,}0 m, com uma extremidade fixa (nó) e outra móvel (ventre). Precisamos de:
(a) duas ondas progressivas cuja soma dê y(x,t),
(b) distância entre nós,
(c) identificar o harmônico,
(d) máxima velocidade em x=1{,}0, 2{,}0 e 2{,}5 m.
Dos argumentos vemos que
k=\frac{\pi}{4},\quad \omega=40\pi,\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}=8\text{ m},\quad f=\frac{\omega}{2\pi}=20\text{ Hz},\quad v=\lambda f=160\text{ m/s}.

Passo 2

Para escrever y como soma de duas ondas viajantes usamos a identidade trigonométrica
2\cos(kx)\,\sin(\omega t)=\sin(\omega t + kx)+\sin(\omega t - kx).
Logo, com A=0{,}020, k=\pi/4 e \omega=40\pi,
y(x,t)=A\cos(kx)\sin(\omega t) =\frac{A}{2}\Bigl[\sin(\omega t + kx)+\sin(\omega t - kx)\Bigr].
Assim, duas ondas progressivas compatíveis são
y_1(x,t)=0{,}010\,\sin\!\bigl(40\pi\,t + \tfrac{\pi}{4}x\bigr), \quad y_2(x,t)=0{,}010\,\sin\!\bigl(40\pi\,t - \tfrac{\pi}{4}x\bigr).

Passo 3

Os nós da onda estacionária ocorrem quando \cos(kx)=0, ou seja
k\,x=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\pi \quad\Longrightarrow\quad \Delta x_{\text{nós}}=\frac{\pi}{k}=\frac{\pi}{\pi/4}=4\text{ m}.ó

Passo 4

Para corda com extremidade livre em x=0 (ventre) e fixa em x=L (nó), os modos permitidos satisfazem
L=\frac{(2m-1)\,\lambda}{4},\quad m=1,2,3,\dots
Como \lambda=8 m e L=10 m,
2m-1=\frac{4L}{\lambda}=\frac{4\cdot10}{8}=5 \quad\Longrightarrow\quad 2m-1=5,
ou seja trata-se do 5º harmônico.

Passo 5

A velocidade transverse é
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t} =0{,}020\cos(kx)\,\omega\cos(\omega t).
A máxima velocidade em cada x é
v_{y,\max}(x)=0{,}020\,\omega\,\bigl|\cos(kx)\bigr| =0{,}020\cdot 40\pi\;\bigl|\cos(\tfrac{\pi}{4}x)\bigr| =0{,}8\pi\;\bigl|\cos(\tfrac{\pi}{4}x)\bigr|.
Logo:
em x=1{,}0 m, \cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}
\;\Rightarrow v_{y,\max}=0{,}8\pi\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\approx1{,}78 m/s;
em x=2{,}0 m, \cos(\pi/2)=0
\;\Rightarrow v_{y,\max}=0;
em x=2{,}5 m, \cos(5\pi/8)=-0{,}3827
\;\Rightarrow v_{y,\max}=0{,}8\pi\cdot0{,}3827\approx0{,}96 m/s.

Resposta

(a)
y_1(x,t)=0{,}010\,\sin\!\bigl(40\pi\,t + \tfrac{\pi}{4}x\bigr), \quad y_2(x,t)=0{,}010\,\sin\!\bigl(40\pi\,t - \tfrac{\pi}{4}x\bigr).
(b) \displaystyle 4\text{ m}.
(c) 5º harmônico.
(d)
\displaystyle v_{y,\max}(1{,}0\text{ m})\approx1{,}78\text{ m/s},
\displaystyle v_{y,\max}(2{,}0\text{ m})=0,
\displaystyle v_{y,\max}(2{,}5\text{ m})\approx0{,}96\text{ m/s}.

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