Prove que o conjunto de todos os números complexos de módulo 1 forma um grupo abeliano sob a multiplicação, e que esse grupo é isomorfo a
S O_{2}(\mathbb{R})=O_{2}(\mathbb{R}) \cap S L_{2}(\mathbb{R})=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \mid A^{T}=A^{-1}, \operatorname{det}(A)=1\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que o conjunto U=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\} é um grupo abeliano sob a operação de multiplicação complexa.
  • Mostrar que esse grupo é isomorfo ao grupo
SO_{2}(\mathbb{R})=\{A\in M_{2\times2}(\mathbb{R})\mid A^{T}=A^{-1},\\ \det(A)=1\}.
Informações e dados que vamos usar:
  • Para z=a+ib\in\mathbb{C} define-se o módulo por |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} e o conjugado por \overline{z}=a-ib.
  • Propriedade importante: |zw|=|z|\,|w| para quaisquer z,w\in\mathbb{C}.
  • Multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes ortogonais: A é ortogonal se A^{T}A=I, e então A^{-1}=A^{T}; \det(AB)=\det(A)\det(B).

Passo 2

Definir precisamente o conjunto e a operação que queremos que forme um grupo:
  • O conjunto é U=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}.
  • A operação é a multiplicação usual de complexos: para z,w\in U o produto é zw.
Vou verificar as propriedades de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos) uma por uma, explicando cada conceito.

Passo 3

Fechamento: provar que o produto de dois elementos de U pertence a U.
Explicação do que vou usar: a propriedade |zw|=|z|\,|w|. Para provar essa propriedade rapidamente: considere |z|^{2}=z\overline{z} e |w|^{2}=w\overline{w}. Então
|zw|^{2}=(zw)\overline{(zw)}=zw\overline{z}\,\overline{w}=(z\overline{z})(w\overline{w})=|z|^{2}|w|^{2},
tomando raízes positivas obtemos |zw|=|z|\,|w|.
Aplicando ao nosso caso: se z,w\in U então |z|=1 e |w|=1, logo
|zw|=|z|\,|w|=1\cdot1=1,
portanto zw\in U. Conclusão: fechamento confirmado.

Passo 4

Associatividade: justificar que multiplicação complexa é associativa.
Isto é uma propriedade básica da multiplicação no corpo \mathbb{C}. Em termos coordenados, a multiplicação é definida de forma que vem da multiplicação de pares (a,b) e (c,d) com regra distributiva e associativa herdada dos reais. Formalmente, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{C} vale
(xy)z = x(yz).
Como associatividade é válida em \mathbb{C} inteira, ela vale restrita ao subconjunto U. Portanto a operação em U é associativa.

Passo 5

Elemento neutro: encontrar e verificar o elemento identidade do grupo.
Na multiplicação de complexos o elemento neutro é 1 (ou seja 1+0i). Verifico:
para qualquer z\in U,
1\cdot z = z \quad\text{e}\quad z\cdot 1 = z.
Além disso |1|=1, então 1\in U. Logo 1 é o elemento neutro de U.

Passo 6

Inversos: provar que todo z\in U tem inverso em U.
Dado z\in U temos |z|=1. Observe que z\overline{z}=|z|^{2}=1, portanto \overline{z} é o inverso multiplicativo de z:
z\cdot\overline{z}=1=\overline{z}\cdot z.
Também |\overline{z}|=|z|=1, então \overline{z}\in U. Conclusão: todo elemento tem inverso em U.

Passo 7

Comutatividade: mostrar que a operação é comutativa.
A multiplicação em \mathbb{C} é comutativa: para quaisquer z,w\in\mathbb{C} tem-se zw=wz. Assim, restrita a U, a operação continua comutativa. Portanto U é um grupo abeliano.
Resumo até aqui: U satisfaz fechamento, associatividade, tem elemento neutro 1, cada elemento tem inverso (o conjugado) e a operação é comutativa. Logo U é um grupo abeliano.

Passo 8

Descrição de SO_{2}(\mathbb{R}) e forma padrão das suas matrizes.
Primeiro, uma matriz A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é ortogonal se A^{T}A=I. Isso exige que as colunas sejam vetores ortonormais, i.e.
a^{2}+c^{2}=1,\quad b^{2}+d^{2}=1,\quad ab+cd=0.
Adicionalmente, \det(A)=1 impõe uma orientação positiva.
Das condições ortonormalidade + \det=1 segue que qualquer A\in SO_{2}(\mathbb{R}) é uma rotação no plano e tem necessariamente a forma
A=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}
para algum \theta\in\mathbb{R}. Vou justificar essa dedução de forma direta no próximo passo (é importante para provar surjetividade do isomorfismo).]

Passo 9

Provar que toda matriz A\in SO_{2}(\mathbb{R}) tem a forma \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é ortogonal, as colunas (a,c) e (b,d) são vetores unitários ortogonais. Então existe ângulo \theta tal que
(a,c)=(\cos\theta,\sin\theta).
A segunda coluna, sendo ortonormal ao primeiro e orientada de forma que \det(A)=1, deve ser (-\sin\theta,\cos\theta). Assim
A=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Verificação rápida: tal matriz é ortogonal porque suas colunas são ortonormais, e \det(A)=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 (na verdade \det\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1). Portanto pertence a SO_{2}(\mathbb{R}). Conclusão: elementos de SO_{2}(\mathbb{R}) são exatamente as rotações R(\theta).]

Passo 10

Definir o candidato a isomorfismo \varphi:U\to SO_{2}(\mathbb{R}) e verificar que está bem-definido.
Usaremos a identificação geométrica entre complexos de módulo 1 e rotações: qualquer z\in U pode ser escrito na forma z=\cos\theta + i\sin\theta para algum \theta\in\mathbb{R} (forma polar). Definimos
\varphi(z)=\begin{pmatrix}\Re(z) & -\Im(z)\\[4pt]\Im(z) & \Re(z)\end{pmatrix}.
Em particular, se z=\cos\theta + i\sin\theta então
\varphi(z)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}=R(\theta)\in SO_{2}(\mathbb{R}).
Portanto \varphi está bem-definida e seu valor realmente pertence a SO_{2}(\mathbb{R}).]

Passo 11

Mostrar que \varphi é homomorfismo de grupos.
Tomemos z_{1},z_{2}\in U e escrevamos z_{1}=\cos\alpha+i\sin\alpha, z_{2}=\cos\beta+i\sin\beta. Então z_{1}z_{2}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) (fórmulas de soma de ângulos ou propriedade exponencial).
Aplicando \varphi obtemos
\varphi(z_{1}z_{2})=R(\alpha+\beta).
Por outro lado,
\varphi(z_{1})\varphi(z_{2})=R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta),
pois a multiplicação de matrizes de rotação soma os ângulos. Assim
\varphi(z_{1}z_{2})=\varphi(z_{1})\varphi(z_{2}),
logo \varphi é um homomorfismo de grupos.
Se preferir uma verificação algébrica direta sem usar ângulos: para z=a+ib e w=c+id com a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}=1, tem-se
\varphi(z)=\begin{pmatrix}a & -b\\\ b & a\end{pmatrix},\qquad \varphi(w)=\begin{pmatrix}c & -d\\\ d & c\end{pmatrix}.
Multiplicando as matrizes
\varphi(z)\varphi(w)=\begin{pmatrix}ac-bd & -(ad+bc)\\\ ad+bc & ac-bd\end{pmatrix},
e note que zw=(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc), portanto \varphi(zw)=\varphi(z)\varphi(w).

Passo 12

Provar que \varphi é bijetiva (injetiva e sobrejetiva), o que completa a demonstração de isomorfismo.
Injetividade: seja z=a+ib\in U com \varphi(z)=I (identidade). Então
\begin{pmatrix}a & -b\\\ b & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Isto força a=1 e b=0, logo z=1. Assim o núcleo de \varphi é trivial, o que implica injetividade do homomorfismo de grupos.
Surjetividade: dada qualquer A\in SO_{2}(\mathbb{R}), pelo Passo 9 existe \theta tal que A=R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}. Então A=\varphi(\cos\theta+i\sin\theta). Portanto \varphi é sobrejetiva.
Como \varphi é homomorfismo e bijetiva, é um isomorfismo de grupos.

Passo 13

Interpretação geométrica e conclusão didática final.
  • O conjunto U são justamente as rotações do plano quando vemos números complexos de módulo 1 como operadores que giram vetores do plano. A multiplicação de complexos corresponde a composição de rotações (adição de ângulos).
  • A matriz associada a z=a+ib é \begin{pmatrix}a & -b\\\ b & a\end{pmatrix}, que é ortogonal com determinante a^{2}+b^{2}=1. Isso explica porque image lie em SO_{2}(\mathbb{R}).
  • O isomorfismo \varphi mostra que, apesar de uma descrição ser “complexa” e a outra “matricial”, os dois grupos têm a mesma estrutura algébrica: composição de rotações.

Resposta

O conjunto U=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\} é um grupo abeliano sob multiplicação, e a aplicação
\varphi:U\to SO_{2}(\mathbb{R}),\qquad \varphi(a+ib)=\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}
é um isomorfismo de grupos.]

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