Mostre, para quaisquer a, b, c, d in Z, que:
Se a <= b e c, então a+c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer inteiros a, b, c, d, se a <= b e c < d então a + c < b + d. O conteúdo é manipulação de desigualdades usando adição e transitividade.

Passo 2

Vamos usar duas propriedades fundamentais de desigualdades em Z: (i) se x <= y, então para todo inteiro k temos x + k <= y + k; (ii) se x < y, então para todo inteiro k temos x + k < y + k. Além disso, usaremos a transitividade: se X < Y e Y <= Z, então X < Z.

Passo 3

Da hipótese c < d, aplicando a propriedade (ii) com k = a, obtemos:
a + c < a + d

Passo 4

Da hipótese a <= b, aplicando a propriedade (i) com k = d, obtemos:
a + d <= b + d

Passo 5

Agora, temos duas desigualdades encadeadas: a + c < a + d e a + d <= b + d. Pela transitividade, concluímos que:
a + c < b + d

Resposta

a + c < b + d

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