Uma agência de consultoria seleciona aleatoriamente 20 instituiçőes que realizam financiamento para a compra da casa própria e determina o atual indice de juros do financiamento em cada uma. A média de amostra dos juros é de 6,22 %, com desvio padrāo de 0,42 %. Encontre o intervalo de confiança de 99 % para a média populacional do indice de juros do financiamento. Assuma que os indices de juros são aproximadamente normalmente distribuídos.
4. O diretor de recursos humanos de uma empresa deseja estimar a idade média de todos os candidatos a uma vaga de emprego. Em uma amostra aleatória de 20 candidatos, a idade média encontrada é de 22,9 anos. Construa um intervalo de confiança de 90 % para a média da populaçāo, tendo por base as duas situaçőes abaixo apresentadas. Compare os resultados.
a) Baseado em estudos anteriores, o desvio padrāo da populaçäo ( sigma ) conhecido é 1.5 anos e a populaçăo é normalmente distribuida.

Passo 1

Vamos resolver o primeiro exercício. Temos uma amostra de 20 instituições com uma média de juros de 6,22% e um desvio padrão de 0,42%. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de confiança de 99% para a média populacional dos índices de juros. Vamos utilizar a distribuição t de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno e o desvio padrão da população não é conhecido.

Passo 2

Primeiro, identificamos os valores que vamos utilizar na fórmula do intervalo de confiança:
  • Média da amostra ( barx) = 6,22%
  • Desvio padrão da amostra ( s) = 0,42%
  • Tamanho da amostra ( n) = 20
  • Grau de confiança = 99%

Passo 3

Calculamos os graus de liberdade ( df) que é igual a n - 1:
df = 20 - 1 = 19

Passo 4

Consultamos a tabela t de Student ou usamos uma calculadora para encontrar o valor crítico talpha/2 para um intervalo de confiança de 99% e 19 graus de liberdade. Esse valor é aproximadamente 2,861.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
barx pm talpha/2 times (sraizn)
Substituindo os valores:
6,22 pm 2,861 times (0,42raiz20)

Passo 6

Calculamos o erro padrão ( sraizn):
0,42raiz20 approx 0,094
Então:
6,22 pm 2,861 times 0,094
6,22 pm 0,269

Passo 7

Calculamos os limites do intervalo:
6,22 - 0,269 = 5,951%
6,22 + 0,269 = 6,489%

Passo 8

Agora, vamos resolver o segundo exercício. Temos uma amostra de 20 candidatos com uma média de idade de 22,9 anos. Queremos construir um intervalo de confiança de 90% para a média da população, considerando que o desvio padrão da população ( sigma) é conhecido e igual a 1,5 anos. Utilizaremos a distribuição normal (z) para este cálculo.

Passo 9

Identificamos os valores necessários:
  • Média da amostra ( barx) = 22,9 anos
  • Desvio padrão da população ( sigma) = 1,5 anos
  • Tamanho da amostra ( n) = 20
  • Grau de confiança = 90%

Passo 10

Calculamos o erro padrão ( sigmaraizn):
1,5raiz20 approx 0,335

Passo 11

Encontramos o valor crítico zalpha/2 para um intervalo de confiança de 90%. Esse valor é aproximadamente 1,645.

Passo 12

Aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
barx pm zalpha/2 times (sigmaraizn)
Substituindo os valores:
22,9 pm 1,645 times 0,335

Passo 13

Calculamos os limites do intervalo:
22,9 - 0,552 approx 22,348
22,9 + 0,552 approx 23,452

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a idade média dos candidatos é aproximadamente de 22,35 anos a 23,45 anos.

Resumo Comparativo

No primeiro exercício, usando a distribuição t devido ao desvio padrão desconhecido, obtivemos um intervalo de confiança mais amplo. No segundo exercício, com o desvio padrão conhecido e utilizando a distribuição z, o intervalo foi mais estreito. Isso demonstra que conhecer o desvio padrão da população e usar a distribuição adequada pode resultar em estimativas mais precisas.

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