Mostre que as transformações abaixo são lineares. \mathrm{f}: \Re^{2} \rightarrow \Re^{3}\, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}, \mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y})\.
Passo 1
O enunciado dá a transformação \mathrm{f}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
\mathrm{f}(x,y)=(x,\;x+y,\;y).
A tarefa é mostrar que essa transformação é linear. Informação fornecida: a fórmula explícita de \mathrm{f}. A pergunta é: provar que \mathrm{f} é linear.
Passo 2
Definição prática de linearidade que vamos usar (sem mistério): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades para todos vetores u,v e todo escalar c:
aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v),
homogeneidade: T(cu)=c\,T(u).
Vou checar essas duas propriedades para \mathrm{f}. Seja
Portanto a propriedade de homogeneidade está verificada:
\mathrm{f}(c u)=c\,\mathrm{f}(u).
Passo 4
Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários e escalar arbitrário, conclui-se que \mathrm{f} é linear.
Uma observação adicional (útil na prova): a transformação é dada por multiplicação por uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times2}. De fato, para v=(x,y),