Mostre que as transformações abaixo são lineares.
\mathrm{f}: \Re^{2} \rightarrow \Re^{3}\, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}, \mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y})\.

Passo 1

O enunciado dá a transformação \mathrm{f}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
\mathrm{f}(x,y)=(x,\;x+y,\;y).
A tarefa é mostrar que essa transformação é linear. Informação fornecida: a fórmula explícita de \mathrm{f}. A pergunta é: provar que \mathrm{f} é linear.

Passo 2

Definição prática de linearidade que vamos usar (sem mistério): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades para todos vetores u,v e todo escalar c:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. homogeneidade: T(cu)=c\,T(u).
Vou checar essas duas propriedades para \mathrm{f}. Seja
u=(x_1,y_1),\qquad v=(x_2,y_2)
vetores em \mathbb{R}^2. Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora aplique \mathrm{f} em u+v:
\mathrm{f}(u+v)=\mathrm{f}(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =(x_1+x_2,\;x_1+x_2+y_1+y_2,\;y_1+y_2).
Reescrevendo o segundo componente como soma de termos de u e v:
\mathrm{f}(u+v)=(x_1+x_2,\;x_1+y_1+x_2+y_2,\;y_1+y_2).
Agora calcule \mathrm{f}(u)+\mathrm{f}(v) separadamente:
\mathrm{f}(u)=(x_1,\;x_1+y_1,\;y_1),\qquad \mathrm{f}(v)=(x_2,\;x_2+y_2,\;y_2).
Somando componente a componente:
\mathrm{f}(u)+\mathrm{f}(v)=(x_1+x_2,\;x_1+y_1+x_2+y_2,\;y_1+y_2).
Comparando com \mathrm{f}(u+v) percebe-se que os dois vetores são idênticos. Portanto a propriedade de aditividade está verificada:
\mathrm{f}(u+v)=\mathrm{f}(u)+\mathrm{f}(v).

Passo 3

Agora a homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y)\in\mathbb{R}^2. Calcule c u e aplique \mathrm{f}:
c u = (c x,\; c y).
\mathrm{f}(c u)=\mathrm{f}(c x,\;c y)=(c x,\;c x + c y,\;c y).
Fatorando c em cada componente:
\mathrm{f}(c u)=(c x,\;c(x+y),\;c y)=c\,(x,\;x+y,\;y)=c\,\mathrm{f}(u).
Portanto a propriedade de homogeneidade está verificada:
\mathrm{f}(c u)=c\,\mathrm{f}(u).

Passo 4

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários e escalar arbitrário, conclui-se que \mathrm{f} é linear.
Uma observação adicional (útil na prova): a transformação é dada por multiplicação por uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times2}. De fato, para v=(x,y),
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot x+0\cdot y\\[4pt]1\cdot x+1\cdot y\\[4pt]0\cdot x+1\cdot y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\\[4pt]x+y\\[4pt]y\end{pmatrix}=\mathrm{f}(x,y).
Como toda aplicação dada por multiplicação por matriz é linear, isso confirma a linearidade de \mathrm{f}.]

Resposta

A transformação \mathrm{f} é linear.
Matriz associada: \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

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