Calcule f^prime(x) usando a definição:
f(x)=a^x, onde 1 neq a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=a^x com a>0 e aneq1 usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos usar propriedades de potências e a representação a=e^ln a.

Passo 2

Começamos aplicando a definição:
f'(x) =limhto0a^x+h-a^xh =limhto0a^xa^h-a^xh =a^xlimhto0a^h-1h
Portanto resta calcular o limite
L=limhto0a^h-1h

Passo 3

Usamos a=e^ln a, logo
a^h=e^hln a Longrightarrow L =limhto0e^hln a-1h
Fazendo a substituição u=hln a, quando hto0 também uto0, e
L =limuto0e^u-1u,ln a =ln a,
pois sabe-se que limuto0e^u-1u=1.

Passo 4

Substituindo de volta em f'(x)=a^xL, obtemos
f'(x)=a^xln a

Resposta

f'(x)=a^xln a

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