Mostre que:
Num triângulo acutângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Nota. Como no item anterior, este resultado também ć válido para um triângulo qualquer (Lei dos Cossenos). E, da mesma forma, vale a relação:
.
Num triângulo acutângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Nota. Como no item anterior, este resultado também ć válido para um triângulo qualquer (Lei dos Cossenos). E, da mesma forma, vale a relação:
Passo 1
O enunciado pede para provar a Lei dos Cossenos num triângulo acutângulo: o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles. Vamos usar coordenadas no plano, a definição de distância e a identidade trigonométrica
.
Passo 2
Considere o triângulo
com
. Denotemos
Coloquemos
e façamos com que o segmento tenha comprimento
e forma o ângulo
com o eixo
. Logo
Coloquemos
e façamos com que o segmento
Passo 3
O quadrado da distância entre
e
é
Passo 4
Expandindo e usando
, obtemos
Passo 5
Como nada no cálculo dependia de
ser menor que
além do fato de
e
manterem-se reais, a fórmula vale para qualquer triângulo (Lei dos Cossenos). Para ângulos obtusos nota-se que
, garantindo a forma correta do termo
.
Resposta
e