Nas condições do exercício antcrior, mostre que são válidas as seguintes relações trigonométricas:
\operatorname{sen}^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1;

Passo 1

Considere um triângulo retângulo em que o ângulo agudo é \alpha, o cateto oposto a \alpha tem comprimento a, o cateto adjacente tem comprimento b e a hipotenusa tem comprimento c. Por definição de razões trigonométricas temos
\operatorname{sen}\alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c}.

Passo 2

Pelo Teorema de Pitágoras, os comprimentos satisfazem
a^2 + b^2 = c^2.
Dividindo ambos os lados por c^2, obtemos
\Bigl(\tfrac{a}{c}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{b}{c}\Bigr)^2 = 1.

Passo 3

Reconhecendo que \tfrac{a}{c}=\operatorname{sen}\alpha e \tfrac{b}{c}=\cos\alpha, concluímos
\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.

Resposta

\operatorname{sen}^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1

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