Mostre que um triângulo equilátero não pode ser totalmente coberto por outros dois triângulos equiláteros menores.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Mostre que um triângulo equilátero não pode ser totalmente coberto por outros dois triângulos equiláteros menores.”
Conteúdo: geometria plana (triângulo equilátero) e um toque de noção de “diâmetro” de um conjunto (distância máxima entre dois pontos dentro dele).
O que a gente vai usar:
  1. Num triângulo equilátero de lado , qualquer par de vértices está a distância .
  2. Num triângulo equilátero de lado menor, digamos , a distância máxima entre quaisquer dois pontos dele (o tal “diâmetro”) é . Isso impede que ele contenha um par de pontos distantes .

Passo 2

Vamos chamar de d(A,B)=d(B,C)=d(C,A)=s o triângulo equilátero “grande” de lado a. Seus vértices são , e , e
Agora imagine que você tenta cobrir usando dois triângulos equiláteros menores, digamos de lado e de lado , com

Passo 3

Observe que, dentro de , a distância entre quaisquer dois pontos é no máximo . Logo, se , não dá para conter dois vértices de , porque qualquer par de vértices de está a distância . O mesmo vale para : como , também não consegue englobar dois vértices de .
Isso significa que cada triângulo menor cobre no máximo um dos vértices , ou .

Passo 4

Como só temos dois triângulos menores e cada um cobre no máximo um vértice do triângulo grande, no máximo dois vértices de ficam cobertos. Sobram pelo menos um dos vértices sem cobertura, ou seja, não há como cobrir o triângulo todo.

Resposta

Não existe maneira de cobrir completamente um triângulo equilátero de lado usando apenas dois triângulos equiláteros cujos lados sejam menores que .

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