Exercício 1.3 Calcule os limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{3^{n+2}}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite quando n tende a +\infty da sequência
\frac{3^{n+2}}{5^{n}}.
Informações dadas: a expressão é uma sequência em n envolvendo potências de 3 e 5. A pergunta é apenas o valor do limite
\lim_{n\to+\infty}\frac{3^{n+2}}{5^{n}}.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão algébrica para ficar mais clara. Uso que 3^{n+2}=3^{n}\cdot 3^{2} e 3^{2}=9. Portanto
\frac{3^{n+2}}{5^{n}} = \frac{9\cdot 3^{n}}{5^{n}} = 9\cdot\frac{3^{n}}{5^{n}}.
Posso juntar as potências que têm o mesmo expoente n:
\frac{3^{n}}{5^{n}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Logo a sequência fica
9\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.

Passo 3

Agora preciso entender o comportamento de \left(\dfrac{3}{5}\right)^{n} quando n\to+\infty. Vou explicar um resultado padrão e muito útil:
Teorema (intuitivo): se r é um número real com |r|<1, então
\lim_{n\to+\infty} r^{n} = 0.
Explicação didática: quando 0<r<1, cada vez que eu multiplico por r eu reduzo o número — por exemplo, se r=\tfrac{1}{2} então r, r^{2}, r^{3},\dots ficam cada vez menores e tendem a zero. Formalmente, pode-se ver que r^{n}=e^{n\ln r} e como \ln r<0 temos n\ln r\to -\infty, então e^{n\ln r}\to 0. Mas não precisa decorar a prova: o fato intuitivo já é suficiente para aplicações em prova.

Passo 4

No nosso caso temos r=\dfrac{3}{5}. Observando
0<\frac{3}{5}<1,
pelo teorema do passo anterior segue que
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}=0.

Passo 5

Como a sequência original é 9 multiplicado por \left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}, uso a propriedade de limites que diz que o limite de uma constante vezes uma sequência é a constante vezes o limite da sequência. Assim
\lim_{n\to+\infty}9\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{n} = 9\cdot\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n} = 9\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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