Exercício 1.3 Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite quando
tende a
da sequência
Informações dadas: a expressão é uma sequência em
envolvendo potências de
e
. A pergunta é apenas o valor do limite
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão algébrica para ficar mais clara. Uso que
e
. Portanto
Posso juntar as potências que têm o mesmo expoente
:
Logo a sequência fica
Passo 3
Agora preciso entender o comportamento de
quando
. Vou explicar um resultado padrão e muito útil:
Teorema (intuitivo): se
é um número real com
, então
Explicação didática: quando
, cada vez que eu multiplico por
eu reduzo o número — por exemplo, se
então
ficam cada vez menores e tendem a zero. Formalmente, pode-se ver que
e como
temos
, então
. Mas não precisa decorar a prova: o fato intuitivo já é suficiente para aplicações em prova.
Passo 4
No nosso caso temos
. Observando
pelo teorema do passo anterior segue que
Passo 5
Como a sequência original é
multiplicado por
, uso a propriedade de limites que diz que o limite de uma constante vezes uma sequência é a constante vezes o limite da sequência. Assim