Mostre que o triângulo com vértices A(0,2), B(-3,-1) e C(-4,3) é isósceles.
Passo 1
O enunciado fornece os três vértices do triângulo:
O que o problema pede:
- Mostrar que o triângulo com esses vértices é isósceles (ou seja, que dois dos seus lados têm a mesma medida).
Informações relevantes dadas: as coordenadas dos três pontos acima. A resolução começa a partir daí, calculando comprimentos dos lados.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Se temos dois pontos
e
, a distância entre eles é dada por
Explicando essa fórmula de um jeito simples:
é a diferença entre as abscissas (o quanto nos movemos na direção horizontal) e
é a diferença entre as ordenadas (o quanto nos movemos na direção vertical). Esses dois deslocamentos formam os catetos de um triângulo retângulo; a distância entre os pontos é a hipotenusa, então aplicamos o Teorema de Pitágoras, daí vem a raiz quadrada da soma dos quadrados.
Um exemplo rápido para fixar: a distância entre
e
é
Passo 3
Calcular o comprimento do segmento
.
Diferenças:
Aplicando a fórmula da distância,
Podemos simplificar
escrevendo
. Portanto
Passo 4
Calcular o comprimento do segmento
.
Diferenças:
Aplicando a fórmula,
Passo 5
Calcular o comprimento do segmento
.
Diferenças:
Aplicando a fórmula,
Passo 6
Comparando os comprimentos obtidos:
Observa-se que
e
têm a mesma medida (
). Quando dois lados de um triângulo são congruentes, o triângulo é isósceles. Portanto o triângulo
é isósceles; os lados iguais são
e
, e o lado desigual (a base) é
. Uma dica prática para a prova: ao comparar comprimentos, muitas vezes basta comparar os quadrados das distâncias (evita lidar com raízes), aqui teríamos
e
, o que já garante
.
Resposta
O triângulo
é isósceles, com
.