Mostre que o triângulo com vértices A(0,2), B(-3,-1) e C(-4,3) é isósceles.

Passo 1

O enunciado fornece os três vértices do triângulo:
  • A(0,2)
  • B(-3,-1)
  • C(-4,3)
O que o problema pede:
  • Mostrar que o triângulo com esses vértices é isósceles (ou seja, que dois dos seus lados têm a mesma medida).
Informações relevantes dadas: as coordenadas dos três pontos acima. A resolução começa a partir daí, calculando comprimentos dos lados.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Se temos dois pontos P_1(x_1,y_1) e P_2(x_2,y_2), a distância entre eles é dada por
d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Explicando essa fórmula de um jeito simples: (x_2-x_1) é a diferença entre as abscissas (o quanto nos movemos na direção horizontal) e (y_2-y_1) é a diferença entre as ordenadas (o quanto nos movemos na direção vertical). Esses dois deslocamentos formam os catetos de um triângulo retângulo; a distância entre os pontos é a hipotenusa, então aplicamos o Teorema de Pitágoras, daí vem a raiz quadrada da soma dos quadrados.
Um exemplo rápido para fixar: a distância entre (0,0) e (3,4) é
\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Calcular o comprimento do segmento \,AB.
Diferenças:
x_B-x_A = -3-0 = -3,\qquad y_B-y_A = -1-2 = -3.
Aplicando a fórmula da distância,
AB=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}.
Podemos simplificar \sqrt{18} escrevendo \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}. Portanto
AB=3\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular o comprimento do segmento \,AC.
Diferenças:
x_C-x_A = -4-0 = -4,\qquad y_C-y_A = 3-2 = 1.
Aplicando a fórmula,
AC=\sqrt{(-4)^2+(1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.

Passo 5

Calcular o comprimento do segmento \,BC.
Diferenças:
x_C-x_B = -4-(-3) = -1,\qquad y_C-y_B = 3-(-1) = 4.
Aplicando a fórmula,
BC=\sqrt{(-1)^2+(4)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}.

Passo 6

Comparando os comprimentos obtidos:
AB=3\sqrt{2},\qquad AC=\sqrt{17},\qquad BC=\sqrt{17}.
Observa-se que AC e BC têm a mesma medida ( \sqrt{17}). Quando dois lados de um triângulo são congruentes, o triângulo é isósceles. Portanto o triângulo ABC é isósceles; os lados iguais são AC e BC, e o lado desigual (a base) é AB. Uma dica prática para a prova: ao comparar comprimentos, muitas vezes basta comparar os quadrados das distâncias (evita lidar com raízes), aqui teríamos AC^2=17 e BC^2=17, o que já garante AC=BC.

Resposta

O triângulo ABC é isósceles, com AC=BC=\sqrt{17}.

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