(1,5)
Mostre que U=A in Mn(R): A^t=A é um subespaço de Mn(R).

Passo 1

O enunciado define
U = A in Mn(R) mid A^t=A,
ou seja, o conjunto das matrizes simétricas de ordem n. Como Mn(R) é um espaço vetorial sobre R, para mostrar que U é subespaço precisamos verificar:
  1. Uneqemptyset (existe vetor zero em U);
  2. se A,BinU então A+BinU (fechamento sob soma);
  3. se lambdainR e AinU então lambda AinU (fechamento sob escalar).

Passo 2

Mostramos que a matriz nula pertence a U. Seja 0 a matriz ntimes n cujas entradas são todas zero. Então
0^t=0
logo 0inU e Uneqemptyset.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob soma. Tomemos A,BinU. Então
A^t=A e B^t=B
Pela propriedade da transposta de soma,
(A+B)^t=A^t+B^t
Usando A^t=A e B^t=B vem
(A+B)^t=A+B,
portanto A+BinU.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e AinU. Como
A^t=A
e usando a propriedade da transposta de produto por escalar,
(lambda A)^t=lambda,A^t,
segue
(lambda A)^t=lambda,A,
logo lambda AinU.

Passo 5

Como U contém a matriz zero e é fechada sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que U é subespaço de Mn(R).

Resposta

U é subespaço de Mn(R).

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