Mostre que
é um subespaço de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
ou seja, o conjunto das matrizes simétricas de ordem
. Como
é um espaço vetorial sobre
, para mostrar que
é subespaço precisamos verificar:
-
(existe vetor zero em ); - se
então (fechamento sob soma); - se
e então (fechamento sob escalar).
Passo 2
Mostramos que a matriz nula pertence a
. Seja
a matriz
cujas entradas são todas zero. Então
logo
e
.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob soma. Tomemos
. Então
Pela propriedade da transposta de soma,
Usando
e
vem
portanto
.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Como
e usando a propriedade da transposta de produto por escalar,
segue
logo
.
Passo 5
Como
contém a matriz zero e é fechada sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço de
.