Seja c um número real. Considere o sistema
2 x+6 y+6 z & =4 x+y+2 z & =2 3 x-y+4 z & =c
Para qual valor de c o sistema acima tem infinitas soluções?

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com parâmetro
Queremos o valor de for menor que 3 (ou seja, ), e
2. esse posto for igual ao posto da matriz aumentada (ou seja, o sistema for consistente e as equações forem dependentes).

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A = 2 & 6 & 6 1 & 1 & 2 3 & -1 & 4
Usando a expansão de Laplace na primeira linha,
det A =2det!1&2-1&4 -6det!1&23&4 +6det!1&13&-1
Isso dá
2(1cdot4 - 2cdot(-1)) -6(1cdot4 - 2cdot3) +6(1cdot(-1) -1cdot3) =2cdot6 -6cdot(-2) +6cdot(-4) =12+12-24=0
Logo det A=0, e o posto de A é no máximo 2.

Passo 3

Para ter infinitas soluções, a terceira equação deve ser combinação linear das duas primeiras. Buscamos
Comparando coeficientes de , obtemos o sistema
Subtraindo a primeira da segunda dá .
Então implica . O terceiro já confere: .

Passo 4

Agora aplicamos a mesma combinação aos termos do lado direito:
c = alphacdot4 + betacdot2 = (-1)cdot4 + 5cdot2 = -4 + 10 = 6
Isso garante que a terceira equação seja exatamente -1 vezes a primeira mais 5 vezes a segunda, tornando o sistema dependente mas consistente.

Resposta

c = 6

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