Seja c um número real. Considere o sistema
2 x+6 y+6 z & =4 x+y+2 z & =2 3 x-y+4 z & =c
O que acontece quando c toma um valor diferente do encontrado na letra b)?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de três equações lineares em
O objetivo é analisar a compatibilidade quando (c] não for o valor especial encontrado na letra b). Vamos usar eliminação de Gauss e o critério de compatibilidade por postos das matrizes.

Passo 2

Primeiro, observamos que a matriz dos coeficientes
A= 2&6&6 1&1&2 3&-1&4
é singular, pois
det(A) =2,(1cdot4-(-1)cdot2) -6,(1cdot4-3cdot2) +6,(1cdot(-1)-3cdot1) =0
Logo, o sistema ou tem infinitas soluções ou é incompatível.

Passo 3

Aplicamos eliminação para expor a condição de compatibilidade. Da segunda equação isolamos
x=2-y-2z
e substituímos nas outras duas:
– Subtraindo duas vezes a segunda da primeira:
(2x+6y+6z)-2(x+y+2z)=4-2cdot2 Longrightarrow 2y+z=0
– Substituindo x=2-y-2z na terceira:
3(2-y-2z)-y+4z=c Longrightarrow 6-4y-2z=c Longrightarrow 2y+z=6-c2

Passo 4

Para existir solução, as duas expressões de 2y+z devem coincidir:
0=6-c2 Longrightarrow c=6
Se cneq6, as duas igualdades
,2y+z=0 e ,2y+z=(6-c)/2 são contraditórias, gerando inconsistência.

Resposta

Para cneq6 o sistema é incompatível, ou seja, não admite nenhuma solução.

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