(1,5) Sejam U=(x, y, z, t) in R^4: x-y=0 e z+2 t=0 e W=(x, y, z, t) in R^4: x+y-z= 0 e t=0.
Determine dim U, dim W, dim(U cap W) e dim(U+W).

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^4 por sistemas lineares:
U=(x,y,z,t)mid x-y=0, z+2t=0,
W=(x,y,z,t)mid x+y-z=0, t=0
O conteúdo é Álgebra Linear: encontrar formas paramétricas, dimensões, interseção e soma de subespaços.

Passo 2

Para U resolvemos as equações
x-y=0implies y=x, z+2t=0implies z=-2t
Tomando como parâmetros s=x e t, obtemos a forma
U=(s,s,-2t,t)mid s,tinR
Como há dois parâmetros livres ( s,t), dimU=2.

Passo 3

Para W resolvemos
t=0, x+y-z=0implies z=x+y
Usando parâmetros u=x e v=y, a forma é
W=(u,v,u+v,0)mid u,vinR
Como há dois parâmetros ( u,v), dimW=2.

Passo 4

A interseção UcapW satisfaz simultaneamente
x-y=0, z+2t=0, x+y-z=0, t=0
De t=0 vem z= -2cdot0=0. Então x+y-z=0 x+y=0 e x-y=0 x=y, logo 2x=0implies x=0implies y=0. Só sobra o vetor nulo, então dim(UcapW)=0.

Passo 5

Pela fórmula de Grassmann,
dim(U+W)=dimU+dimW-dim(UcapW) =2+2-0=4

Resposta

dimU=2,dimW=2,dim(UcapW)=0,dim(U+W)=4

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