Mostre que u=sin (x-a t)+ln (x+a t) e u=ta^2 t^2-x^2 satisfazem a equação da onda ut t=a^2 ux x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as duas funções dadas satisfazem a equação da onda utt=a^2uxx. Vamos usar a definição de derivadas parciais e mostrar explicitamente que para cada função u vale utt=a^2uxx.

Passo 2

Considere primeiro v=sin(x-at).
Para a parte vx=cos(x-at):
  • vt=-acos(x-at) e vxx=-sin(x-at)= -v.
  • Então vtt=-a(-a)sin(x-at)=a^2v e w=ln(x+at).
    Para a parte wx=1x+at:
  • wt=ax+at e wxx=-1(x+at)^2.
  • Então wtt=-a^2(x+at)^2=a^2wxx e u1,tt=a^2sin(x-at)+a^2cdot(-tfrac1(x+at)^2)=a^2u1,xx.
    Somando as duas partes, obtemos
    u1.
    Logo satisfaz a equação da onda.

Passo 3

Agora veja u2(x,t)=ta^2t^2 - x^2. Defina D=a^2t^2 - x^2, assim (u_2= t D^{-1}. Calculamos:
  • ux=2xt,D^-2 e
    uxx=2t,D^-2 + 8x^2 t,D^-3.
  • ut=D^-1 - 2a^2t^2D^-2 e
    utt=-2a^2t,D^-2 -4a^2t,D^-2 +8a^4t^3D^-3 = -6a^2tD^-2 +8a^4t^3D^-3.
    Multiplicando uxx por a^2 e comparando com utt (bastando fazer uma conta algébrica), obtemos a igualdade
    utt=a^2uxx.
    Portanto u2 também satisfaz a equação da onda.

Resposta

As duas funções verificam explicitamente a relação utt=a^2uxx, logo ambas são soluções da equação da onda.

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