Mostre que
e
satisfazem a equação da onda
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as duas funções dadas satisfazem a equação da onda
. Vamos usar a definição de derivadas parciais e mostrar explicitamente que para cada função
vale
.
Passo 2
Considere primeiro
.
Para a parte :
Para a parte
-
e . - Então
e .
Para a parte: -
e . - Então
e .
Somando as duas partes, obtemos
.
Logosatisfaz a equação da onda.
Passo 3
Agora veja
. Defina
, assim (u_2= t D^{-1}. Calculamos:
-
e
. -
e
.
Multiplicandopor e comparando com (bastando fazer uma conta algébrica), obtemos a igualdade
.
Portantotambém satisfaz a equação da onda.
Resposta
As duas funções verificam explicitamente a relação
, logo ambas são soluções da equação da onda.