Identifique e esboce os arcos
z(t)=2 \cos t+2 i \cdot \operatorname{sen} t, \quad-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{5 \pi}{6}

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica complexa
z(t)=2\cos t + 2i\operatorname{sen} t, \qquad -\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{5\pi}{6},
e pede para identificar (ou seja: dizer qual é a curva geométrica, pontos iniciais/finais, sentido, etc.) e esboçar o arco correspondente. Informações relevantes fornecidas:
  • expressão de z(t) para todo t no intervalo dado;
  • intervalo de variação do parâmetro t, que determina onde começa e onde termina o arco.

Passo 2

Reescrever a forma complexa em notação exponencial/geométrica para ver a curva claramente. Usando a identidade de Euler (ou simplesmente agrupando):
z(t)=2\big(\cos t + i\operatorname{sen} t\big)=2e^{i t}.
Explicação curta: e^{i t}=\cos t + i\operatorname{sen} t, então multiplicando por 2 obtemos um fator de escala radial.

Passo 3

Interpretar geometricamente z(t)=2e^{it}. Para um número complexo re^{i\theta}:
  • r é a distância ao origin (módulo);
  • \theta é o argumento (ângulo polar) medido em relação ao eixo real positivo, com sentido anti-horário para \theta crescente.
Aqui r=2 constante, logo todos os pontos têm mesma distância 2 ao origem. Conclusão:
  • A curva é o círculo centrado na origem com raio 2.

Passo 4

Determinar os pontos inicial e final do arco (pegando explicitamente do enunciado os valores do parâmetro).
Ponto inicial (para t=-\tfrac{\pi}{2}):
z\Big(-\tfrac{\pi}{2}\Big)=2\cos\Big(-\tfrac{\pi}{2}\Big)+2i\operatorname{sen}\Big(-\tfrac{\pi}{2}\Big)=2\cdot 0 + 2i\cdot(-1) = -2i.
Ou seja, ponto inicial é -2i, que em coordenadas reais é (0,-2).
Ponto final (para t=\tfrac{5\pi}{6}):
\cos\Big(\tfrac{5\pi}{6}\Big)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \operatorname{sen}\Big(\tfrac{5\pi}{6}\Big)=\tfrac{1}{2},
portanto
z\Big(\tfrac{5\pi}{6}\Big)=2\Big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)+2i\Big(\tfrac{1}{2}\Big)=-\sqrt{3}+i.
Em coordenadas reais o ponto final é (-\sqrt{3},1).

Passo 5

Verificar que ambos pertencem ao círculo de raio 2. Calcular os módulos:
|{-2i}|=2, \qquad |-\sqrt{3}+i|=\sqrt{(\!-\sqrt{3}\!)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Confirmado: ambos estão sobre o círculo de raio 2.

Passo 6

Determinar o sentido de percurso e o ângulo central percorrido. O parâmetro t cresce no intervalo de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{5\pi}{6}, e o argumento do ponto é exatamente t. Portanto o movimento é no sentido anti-horário (sentido positivo de t).
Ângulo central percorrido:
\Delta t=\frac{5\pi}{6}-\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)=\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi+3\pi}{6}=\frac{8\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}.
Interpretação: o arco corresponde a um deslocamento angular de \tfrac{4\pi}{3} radianos, isto é 240^\circ.

Passo 7

Calcular o comprimento do arco (se for útil na identificação). Comprimento de arco em círculo de raio R e ângulo \theta é s=R\theta. Aqui:
s=2\cdot\frac{4\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}.

Passo 8

Dar instruções simples para esboçar o arco no papel (passo-a-passo prático):
  • Desenhe um círculo centrado na origem com raio 2.
  • Marque o ponto inicial A=(0,-2) (corresponde a t=-\tfrac{\pi}{2}).
  • Marque o ponto final B=(-\sqrt{3},1) (corresponde a t=\tfrac{5\pi}{6}); B fica no segundo quadrante, um pouco para a esquerda e acima do eixo x.
  • Como o movimento é com t crescente, desenhe uma seta ao longo da circunferência de A passando por t=0 (ponto (2,0)) e por t=\tfrac{\pi}{2} (ponto (0,2)) até chegar em B. Ou seja, o arco passa por (2,0) e (0,2) antes de alcançar B.
  • Opcional: indique o ângulo total \tfrac{4\pi}{3} ou 240^\circ e o comprimento \tfrac{8\pi}{3}.

Passo 9

Observações finais e reforço didático (para a prova): sempre que tiver z(t)=R\cos t + i R\operatorname{sen} t ou z(t)=Re^{it} reconheça imediatamente um círculo de raio R centrado na origem. O intervalo de t indica onde começa/termina e o sentido (aumentando: anti-horário; diminuindo: horário). Para obter coordenadas use \cos e \operatorname{sen} nos extremos e em pontos notáveis (0,\pm\tfrac{\pi}{2},\pi, \ldots).

Resposta

Arco do círculo centrado na origem de raio 2, dado por z(t)=2e^{it} para -\tfrac{\pi}{2}\le t\le\tfrac{5\pi}{6}.
Ponto inicial: z\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)=-2i (ou (0,-2)).
Ponto final: z\big(\tfrac{5\pi}{6}\big)=-\sqrt{3}+i (ou (-\sqrt{3},1)).
Sentido: anti-horário ( t cresce ).
Ângulo central percorrido: \tfrac{4\pi}{3} rad ( 240^\circ ).
Comprimento do arco: \dfrac{8\pi}{3}.

Exercícios relacionados