Identifique e esboce os arcos
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica complexa
e pede para identificar (ou seja: dizer qual é a curva geométrica, pontos iniciais/finais, sentido, etc.) e esboçar o arco correspondente. Informações relevantes fornecidas:
- expressão de
para todo no intervalo dado; - intervalo de variação do parâmetro
, que determina onde começa e onde termina o arco.
Passo 2
Reescrever a forma complexa em notação exponencial/geométrica para ver a curva claramente. Usando a identidade de Euler (ou simplesmente agrupando):
Explicação curta:
, então multiplicando por
obtemos um fator de escala radial.
Passo 3
Interpretar geometricamente
. Para um número complexo
:
-
é a distância ao origin (módulo); -
é o argumento (ângulo polar) medido em relação ao eixo real positivo, com sentido anti-horário para crescente.
Aqui
constante, logo todos os pontos têm mesma distância
ao origem. Conclusão:
- A curva é o círculo centrado na origem com raio
.
Passo 4
Determinar os pontos inicial e final do arco (pegando explicitamente do enunciado os valores do parâmetro).
Ponto inicial (para
):
Ou seja, ponto inicial é
, que em coordenadas reais é
.
Ponto final (para
):
portanto
Em coordenadas reais o ponto final é
.
Passo 5
Verificar que ambos pertencem ao círculo de raio
. Calcular os módulos:
Confirmado: ambos estão sobre o círculo de raio
.
Passo 6
Determinar o sentido de percurso e o ângulo central percorrido. O parâmetro
cresce no intervalo de
até
, e o argumento do ponto é exatamente
. Portanto o movimento é no sentido anti-horário (sentido positivo de
).
Ângulo central percorrido:
Interpretação: o arco corresponde a um deslocamento angular de
radianos, isto é
.
Passo 7
Calcular o comprimento do arco (se for útil na identificação). Comprimento de arco em círculo de raio
e ângulo
é
. Aqui:
Passo 8
Dar instruções simples para esboçar o arco no papel (passo-a-passo prático):
- Desenhe um círculo centrado na origem com raio
. - Marque o ponto inicial
(corresponde a ). - Marque o ponto final
(corresponde a ); fica no segundo quadrante, um pouco para a esquerda e acima do eixo . - Como o movimento é com
crescente, desenhe uma seta ao longo da circunferência de passando por (ponto ) e por (ponto ) até chegar em . Ou seja, o arco passa por e antes de alcançar . - Opcional: indique o ângulo total
ou e o comprimento .
Passo 9
Observações finais e reforço didático (para a prova): sempre que tiver
ou
reconheça imediatamente um círculo de raio
centrado na origem. O intervalo de
indica onde começa/termina e o sentido (aumentando: anti-horário; diminuindo: horário). Para obter coordenadas use
e
nos extremos e em pontos notáveis
.
Resposta
Arco do círculo centrado na origem de raio
, dado por
para
.
Ponto inicial: (ou
).
Ponto final: (ou
).
Sentido: anti-horário ( cresce ).
Ângulo central percorrido: rad (
).
Comprimento do arco: .
Ponto inicial:
Ponto final:
Sentido: anti-horário (
Ângulo central percorrido:
Comprimento do arco: