Mostre que u(x, t)=(x-a t)^4+cos (x+a t) satisfaz a equação da onda ut t=a^2 ux x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
u(x,t) = (x - a t)^4 + cos(x + a t)
satisfaz a equação da onda
utt = a^2 ,uxx
Aqui vamos usar cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas em relação a x.
A derivada de (x - a t)^4 em x é, pela regra da potência e da cadeia,
partialpartial x(x - a t)^4 =4,(x - a t)^3cdotpartialpartial x(x - a t) =4,(x - a t)^3
A derivada de cos(x + a t) em x é
partialpartial xcos(x + a t) =-sin(x + a t)cdotpartialpartial x(x + a t) =-sin(x + a t)
Logo,
ux=4,(x - a t)^3-sin(x + a t)
Aplicando mais uma derivada em x,
partialpartial xl[4,(x - a t)^3r] =12,(x - a t)^2, partialpartial xl[-sin(x + a t)r] =-cos(x + a t)
Portanto,
uxx=12,(x - a t)^2-cos(x + a t)

Passo 3

Agora as derivadas em relação a t.
Para (x - a t)^4 temos
partialpartial t(x - a t)^4 =4,(x - a t)^3cdotpartialpartial t(x - a t) =4,(x - a t)^3cdot(-a) =-4a,(x - a t)^3
Para cos(x + a t):
partialpartial tcos(x + a t) =-sin(x + a t)cdotpartialpartial t(x + a t) =-a,sin(x + a t)
Logo,
ut=-4a,(x - a t)^3-a,sin(x + a t)
Aplicando nova derivada em t:
partialpartial tl[-4a,(x - a t)^3r] =-4acdot3,(x - a t)^2cdot(-a) =12a^2,(x - a t)^2,
partialpartial tl[-a,sin(x + a t)r] =-acos(x + a t)cdot a =-a^2cos(x + a t)
Portanto,
utt=12a^2,(x - a t)^2-a^2cos(x + a t)

Passo 4

Comparemos
utt =12a^2,(x - a t)^2-a^2cos(x + a t) =a^2l[12,(x - a t)^2-cos(x + a t)r] =a^2uxx
Isso mostra exatamente que
utt=a^2uxx

Resposta

A função u(x,t)=(x-a t)^4+cos(x+a t) satisfaz a equação da onda utt=a^2uxx.

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