Questão 2 Calcule a soma p(x)+q(x), a subtração p(x)-q(x), o produto p(x) q(x) e a divisão (com resto) de p(x) por q(x), dados:
p(x)=x^3-3 x-1 e q(x)=x^2+1

Passo 1

O enunciado pede as operações básicas com polinômios: soma, subtração, produto e divisão com resto de
p(x)=x^3-3x-1 por q(x)=x^2+1. Vamos usar as regras de adição, subtração, multiplicação e divisão de polinômios.

Passo 2

Para soma e subtração alinhamos termos de mesmo grau:
p(x)+q(x)=l(x^3-3x-1r)+l(x^2+1r)
p(x)+q(x)=x^3+x^2-3x+0=x^3+x^2-3x
p(x)-q(x)=l(x^3-3x-1r)-l(x^2+1r)
p(x)-q(x)=x^3-x^2-3x-2

Passo 3

Para o produto usamos a distributiva:
p(x),q(x)=l(x^3-3x-1r),(x^2+1)
p(x),q(x)=x^3cdot x^2+x^3cdot1-3xcdot x^2-3xcdot1-1cdot x^2-1cdot1
p(x),q(x)=x^5-2x^3-x^2-3x-1

Passo 4

Para dividir p(x) por q(x) fazemos a divisão de termo principal:
  1. dfracx^3x^2=x, então multiplicamos q(x) por x e subtraímos:
(x^3-3x-1)-(x^3+x)=-4x-1
  1. O grau de -4x-1 é menor que o de q(x), então paramos.
O quociente é x e o resto é -4x-1.

Resposta

p(x)+q(x)=x^3+x^2-3x
p(x)-q(x)=x^3-x^2-3x-2
p(x),q(x)=x^5-2x^3-x^2-3x-1
Ao dividir p(x) por q(x) obtemos quociente Q(x)=x e resto R(x)=-4x-1.

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