Mostre que as seguintes funções não são analíticas em nenhum ponto:
f(z)=2 x y+i\left(x^{2}-y^{2}\right);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função f(z) = 2xy + i(x^{2} - y^{2}) não é analítica em nenhum ponto. Aqui, estamos trabalhando com funções de variável complexa e vamos usar as condições de Cauchy-Riemann para verificar a analiticidade da função. Para isso, precisamos identificar as partes real e imaginária da função e aplicar essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função f(z) nas suas partes real e imaginária. Temos:
f(z) = u(x, y) + i \, v(x, y)
Onde:
u(x, y) = 2xy \quad \text{e} \quad v(x, y) = x^{2} - y^{2}

Passo 3

Agora, vamos lembrar das condições de Cauchy-Riemann, que são necessárias para que uma função seja analítica em um ponto. Essas condições dizem que as derivadas parciais de u e v devem satisfazer:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{e} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Para u(x, y) = 2xy:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2y \quad \text{e} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2x
Para v(x, y) = x^{2} - y^{2}:
\frac{\partial v}{\partial x} = 2x \quad \text{e} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -2y

Passo 5

Vamos verificar as condições de Cauchy-Riemann:
Primeira condição:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2y \quad \text{deve ser igual a} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -2y
Isso só é verdade se 2y = -2y, ou seja, se y = 0.
Segunda condição:
\frac{\partial u}{\partial y} = 2x \quad \text{deve ser igual a} \quad -\frac{\partial v}{\partial x} = -2x
Isso só é verdade se 2x = -2x, ou seja, se x = 0.

Passo 6

As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas somente no ponto (0, 0). Porém, para que a função seja analítica em um ponto, as condições devem ser satisfeitas em uma vizinhança ao redor desse ponto. No caso, além do ponto (0, 0), as condições não são atendidas em nenhum outro lugar.

Resposta

Portanto, a função f(z) = 2xy + i(x^{2} - y^{2}) não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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