Mostre que as seguintes funções não são analíticas em nenhum ponto:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
não é analítica em nenhum ponto. Aqui, estamos trabalhando com funções de variável complexa e vamos usar as condições de Cauchy-Riemann para verificar a analiticidade da função. Para isso, precisamos identificar as partes real e imaginária da função e aplicar essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
nas suas partes real e imaginária. Temos:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das condições de Cauchy-Riemann, que são necessárias para que uma função seja analítica em um ponto. Essas condições dizem que as derivadas parciais de
e
devem satisfazer:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos verificar as condições de Cauchy-Riemann:
Primeira condição:
Isso só é verdade se
, ou seja, se
.
Segunda condição:
Isso só é verdade se
, ou seja, se
.
Passo 6
As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas somente no ponto
. Porém, para que a função seja analítica em um ponto, as condições devem ser satisfeitas em uma vizinhança ao redor desse ponto. No caso, além do ponto
, as condições não são atendidas em nenhum outro lugar.
Resposta
Portanto, a função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.