Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) e^x^2+y^2-1x^2+y^2-

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite de uma função de duas variáveis e, caso exista, calcular lim(x,y)to(0,0)e^x^2+y^2-1x^2+y^2. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos usar coordenadas polares junto com o limite fundamental de e^u.

Passo 2

Como a expressão depende apenas de x^2+y^2, introduzimos coordenadas polares: definimos r=raizx^2+y^2, de modo que x^2+y^2=r^2. Então a função fica f(r)=e^r^2-1r^2 e o limite (x,y)to(0,0) corresponde a rto0^+.

Passo 3

Para calcular limrto0^+e^r^2-1r^2, usamos o limite fundamental de exponencial: sabemos que limuto0e^u-1u=1. Aqui basta tomar u=r^2, que tende a 0 quando rto0. Portanto

Passo 4

agrupando, temos limrto0^+e^r^2-1r^2=1, o que mostra que o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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