Use diferenciação para mostrar que a seqüência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
3-1nn=1^+infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência an = 3 - 1n é estritamente crescente ou decrescente usando diferenciação. O conteúdo envolvido é monotonicidade de sequências e uso de derivadas para estabelecer se uma função é crescente ou decrescente.

Passo 2

Para relacionar a sequência a uma função contínua, definimos f(x) = 3 - 1x, válida para x>0. A ideia é usar a monotonicidade de f para concluir sobre an = f(n).

Passo 3

Calculamos a derivada de f para verificar seu comportamento monotônico.
f'(x) = ddxl(3 - 1xr) = 1x^2
Como x^2>0 para todo x>0, temos f'(x)>0.

Passo 4

Como f'(x)>0 em todo domínio x>0, concluímos que f é estritamente crescente. Logo, para índices inteiros n vale f(n), isto é,
3 - 1n < 3 - 1m

Passo 5

Portanto, a sequência an = 3 - 1n é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é estritamente crescente.

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