Mostre, usando apenas a definição de logaritmo e suas consequências imediatas, que:
(a)
, para
e
.
(b)
, para
e
.
Em seguida, use o resultado do item (b) para calcular
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar que
para e . - (b) Mostrar que
para . - Usar o resultado do item (b) para calcular
.
Informações que podemos usar (definição e consequências imediatas):
- Definição de logaritmo: para
e , diz-se se, e somente se, . Ou seja, é o único real tal que . - Consequência imediata da definição: se
então, por definição, . Também decorre da definição que esse é único.
Passo 2
Prova do item (a). Seja
e considere o número
. Pela definição de logaritmo,
é o único número real
tal que
Mas
satisfaz essa igualdade, pois
. Como a definição garante unicidade do expoente que produz um dado valor positivo, esse único
tem de ser
. Portanto
Comentário didático curto: a ideia é simples —
é o “inverso” da potência de base
; aplicar
em
devolve o expoente
, porque por definição o logaritmo é exatamente o expoente que produz aquele valor.
Passo 3
Prova do item (b). Seja
e defina
. Pela definição de logaritmo, temos
Mas
, então escrevendo a mesma igualdade com essa notação:
Isso termina a prova do item (b). Comentário didático: aqui nem precisamos de unicidade — a definição já dá diretamente a igualdade desejada: o logaritmo de
é, por definição, o expoente que faz
elevado a esse expoente ser igual a
.
Passo 4
Preparação para calcular
. Vamos usar o item (b) e uma propriedade básica das potências: para qualquer base
e quaisquer expoentes reais
vale
Explicação curta dessa propriedade: para expoentes inteiros essa propriedade vem da definição de potência como produto repetido; ela estende-se a expoentes racionais por construções algébricas (raízes) e, finalmente, a expoentes reais por continuidade da função exponencial. Portanto é uma propriedade elementar e imediata das potências reais.
Passo 5
Cálculo efetivo. Denote
e
. Pelo item (b) temos
e
. Então, usando a propriedade
, obtemos
Resposta
(a)
(b)