Mostre, usando apenas a definição de logaritmo e suas consequências imediatas, que:
(a) \log _{a}\left(a^{n}\right)=n, para a>0, a \neq 1 e n \in \mathbb{R}.
(b) a^{\log _{a} b}=b, para a, b>0 e a \neq 1.
Em seguida, use o resultado do item (b) para calcular 2^{\log _{2} 5+\log _{2} 3}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Mostrar que \log_{a}\!\bigl(a^{n}\bigr)=n para a>0,\\ a\neq1 e n\in\mathbb{R}.
  • (b) Mostrar que a^{\log_{a} b}=b para a>0,\\ b>0,\\ a\neq1.
  • Usar o resultado do item (b) para calcular 2^{\log_{2}5+\log_{2}3}.
Informações que podemos usar (definição e consequências imediatas):
  • Definição de logaritmo: para a>0,\\ a\neq1 e b>0, diz-se \log_{a} b = c se, e somente se, a^{c}=b. Ou seja, \log_{a} b é o único real c tal que a^{c}=b.
  • Consequência imediata da definição: se c=\log_{a} b então, por definição, a^{c}=b. Também decorre da definição que esse c é único.

Passo 2

Prova do item (a). Seja n\in\mathbb{R} e considere o número \log_{a}\!\bigl(a^{n}\bigr). Pela definição de logaritmo, \log_{a}\!\bigl(a^{n}\bigr) é o único número real x tal que
a^{x}=a^{n}.
Mas x=n satisfaz essa igualdade, pois a^{n}=a^{n}. Como a definição garante unicidade do expoente que produz um dado valor positivo, esse único x tem de ser n. Portanto
\log_{a}\!\bigl(a^{n}\bigr)=n.
Comentário didático curto: a ideia é simples — \log_{a} é o “inverso” da potência de base a; aplicar \log_{a} em a^{n} devolve o expoente n, porque por definição o logaritmo é exatamente o expoente que produz aquele valor.

Passo 3

Prova do item (b). Seja b>0 e defina c=\log_{a} b. Pela definição de logaritmo, temos
a^{c}=b.
Mas c=\log_{a} b, então escrevendo a mesma igualdade com essa notação:
a^{\log_{a} b}=b.
Isso termina a prova do item (b). Comentário didático: aqui nem precisamos de unicidade — a definição já dá diretamente a igualdade desejada: o logaritmo de b é, por definição, o expoente que faz a elevado a esse expoente ser igual a b.

Passo 4

Preparação para calcular 2^{\log_{2}5+\log_{2}3}. Vamos usar o item (b) e uma propriedade básica das potências: para qualquer base a>0 e quaisquer expoentes reais x,y vale
a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}.
Explicação curta dessa propriedade: para expoentes inteiros essa propriedade vem da definição de potência como produto repetido; ela estende-se a expoentes racionais por construções algébricas (raízes) e, finalmente, a expoentes reais por continuidade da função exponencial. Portanto é uma propriedade elementar e imediata das potências reais.

Passo 5

Cálculo efetivo. Denote u=\log_{2}5 e v=\log_{2}3. Pelo item (b) temos 2^{u}=5 e 2^{v}=3. Então, usando a propriedade 2^{u+v}=2^{u}\,2^{v}, obtemos
2^{\log_{2}5+\log_{2}3}=2^{u+v}=2^{u}\,2^{v}=5\cdot 3=15.

Resposta

(a) \log_{a}\!\bigl(a^{n}\bigr)=n
(b) a^{\log_{a} b}=b
2^{\log_{2}5+\log_{2}3}=15

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