Sabendo que log 2=0,301 e log 3=0,477, calcule, sem calculadora:
log _{4} 6 (use a fórmula de mudança de base para a base 10)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá: \log 2 = 0,301 e \log 3 = 0,477 (aqui os \log são na base 10).
  • Pede: calcular \log_{4} 6 sem calculadora, usando a fórmula de mudança de base para a base 10.

Passo 2

Fórmula de mudança de base (explicação curta e por que funciona).
Sejam a,b,c>0 com a\neq1, c\neq1. Definindo x=\log_a b significa a^{x}=b. Tomando logaritmo de base c em ambos os lados obtém-se
\log_c(a^{x})=\log_c b.
Usando a propriedade \log_c(a^{x})=x\log_c a segue
x\log_c a=\log_c b\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\log_c b}{\log_c a}.
Portanto vale a fórmula de mudança de base:
\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com c=10 (pois os logs dados são na base 10):
\log_{4}6=\frac{\log 6}{\log 4}.
Aqui \log sem índice indica \log_{10}.

Passo 4

Usar propriedades básicas dos logaritmos para calcular \log 6 e \log 4 a partir dos dados dados:
  • Como 6=2\cdot3, pela propriedade \log(ab)=\log a+\log b,
\log 6=\log 2+\log 3=0,301+0,477=0,778.
  • Como 4=2^{2}, pela propriedade \log(a^{k})=k\log a,
\log 4=2\log 2=2\cdot0,301=0,602.

Passo 5

Agora colocar na razão:
\log_{4}6=\frac{0,778}{0,602}.
Uma forma alternativa algébrica útil (que ajuda a fazer a conta mentalmente) é escrever
\frac{0,778}{0,602}=\frac{\log2+\log3}{2\log2}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\log3}{\log2}\right).
Então basta calcular \dfrac{\log3}{\log2}=\dfrac{0,477}{0,301} e aplicar a fórmula acima.

Passo 6

Fazer a divisão aproximada sem calculadora (divisão longa ou estimativa controlada).
  • Calculando diretamente \dfrac{0,477}{0,301} por estimativa: 0,301\times1,585\approx0,477085, portanto \dfrac{0,477}{0,301}\approx1,585.
  • Substituindo em \dfrac{1}{2}(1+1,585)=\dfrac{1}{2}\cdot2,585=1,2925.
  • Fazendo a divisão direta mais precisa \dfrac{0,778}{0,602} (divisão longa) obtém-se aproximadamente 1,2923588\ldots.
Arredondando de forma prática para 4 casas decimais: \log_{4}6\approx1,2924.

Resposta

\log_{4}6\approx1,2924

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