Sabendo que
e
, calcule, sem calculadora:
(use a fórmula de mudança de base para a base 10)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá:
e (aqui os são na base 10). - Pede: calcular
sem calculadora, usando a fórmula de mudança de base para a base 10.
Passo 2
Fórmula de mudança de base (explicação curta e por que funciona).
Sejam com
,
. Definindo
significa
. Tomando logaritmo de base
em ambos os lados obtém-se
Sejam
Usando a propriedade
segue
Portanto vale a fórmula de mudança de base:
Passo 3
Aplicando a fórmula com
(pois os logs dados são na base 10):
Aqui
sem índice indica
.
Passo 4
Usar propriedades básicas dos logaritmos para calcular
e
a partir dos dados dados:
- Como
, pela propriedade ,
- Como
, pela propriedade ,
Passo 5
Agora colocar na razão:
Uma forma alternativa algébrica útil (que ajuda a fazer a conta mentalmente) é escrever
Então basta calcular
e aplicar a fórmula acima.
Passo 6
Fazer a divisão aproximada sem calculadora (divisão longa ou estimativa controlada).
- Calculando diretamente
por estimativa: , portanto . - Substituindo em
. - Fazendo a divisão direta mais precisa
(divisão longa) obtém-se aproximadamente .
Arredondando de forma prática para 4 casas decimais:
.