Determine o conjunto solução da inequação:
\left(\frac{1}{3}\right)^{2 x-1}>9^{x-2}
Expresse a solução em notação de intervalo e represente-a na reta real.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto solução da inequação
\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1}>9^{x-2},
expressar a solução em notação de intervalo e representá‑la na reta real.
Informações dadas:
  • A expressão à esquerda é \left(\tfrac{1}{3}\right)^{2x-1}.
  • A expressão à direita é 9^{x-2}.
  • Quer‑se o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade.
  • O resultado final deve vir em notação de intervalo e com indicação de como fica na reta real.

Passo 2

Vamos reescrever ambas as potências com a mesma base para facilitar a comparação. Para isso uso duas regras de potências (mini‑aula rápida):
  • Regra 1: (a^b)^c = a^{bc}. Isso permite juntar expoentes.
  • Regra 2: a^{-1} = \dfrac{1}{a}. Assim \dfrac{1}{3}=3^{-1}.
    Também observo que 9=3^2. Aplicando essas ideias:
Escrevo o lado esquerdo como
\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2x-1} = (3^{-1})^{2x-1} = 3^{-1\cdot(2x-1)} = 3^{-2x+1}.
Escrevo o lado direito como
9^{x-2} = (3^2)^{x-2} = 3^{2(x-2)} = 3^{2x-4}.

Passo 3

Agora a inequação ficou
3^{-2x+1} > 3^{2x-4}.
Aqui uso uma propriedade importante sobre funções exponenciais (mini‑aula sobre monotonicidade):
  • Se a base a satisfaz a>1, então a função a^t é crescente: a^{u}>a^{v} se e somente se u>v.
  • Se 0<a<1, a função a^t é decrescente: a^{u}>a^{v} se e somente se u<v.
No nosso caso a base é 3>1, então a desigualdade entre potências preserva a ordem dos expoentes. Portanto a inequação é equivalente à desigualdade entre os expoentes:
-2x+1 > 2x-4.
(Observação didática: se tivéssemos mantido a base \tfrac{1}{3} à esquerda e tentado comparar diretamente, lembraríamos que \tfrac{1}{3}<1 e aí a desigualdade se inverteria ao passar para os expoentes. Por isso é mais seguro passar tudo para a mesma base >1, como fizemos.)

Passo 4

Resolvendo a desigualdade linear em x:
-2x+1 > 2x-4.
Somando 2x aos dois lados:
1 > 4x -4.
Somando 4 aos dois lados:
5 > 4x.
Dividindo ambos os lados por 4 (positivo, então a desigualdade não se inverte):
\frac{5}{4} > x,
ou seja
x < \frac{5}{4}.

Passo 5

Interpretação final:
  • O conjunto solução é todos os números reais menores que \dfrac{5}{4}.
  • Em notação de intervalo isso é \left(-\infty,\dfrac{5}{4}\right).
  • Na reta real: pintar todos os pontos à esquerda de \dfrac{5}{4} e colocar um círculo aberto em \dfrac{5}{4} (pois o valor \dfrac{5}{4} não pertence à solução). Em decimal, \dfrac{5}{4}=1,25.

Resposta

\left(-\infty,\dfrac{5}{4}\right)

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