Determine o conjunto solução da inequação:
Expresse a solução em notação de intervalo e represente-a na reta real.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto solução da inequação
expressar a solução em notação de intervalo e representá‑la na reta real.
Informações dadas:
- A expressão à esquerda é
. - A expressão à direita é
. - Quer‑se o conjunto de todos os
que satisfazem a desigualdade. - O resultado final deve vir em notação de intervalo e com indicação de como fica na reta real.
Passo 2
Vamos reescrever ambas as potências com a mesma base para facilitar a comparação. Para isso uso duas regras de potências (mini‑aula rápida):
- Regra 1:
. Isso permite juntar expoentes. - Regra 2:
. Assim .
Também observo que. Aplicando essas ideias:
Escrevo o lado esquerdo como
Escrevo o lado direito como
Passo 3
Agora a inequação ficou
Aqui uso uma propriedade importante sobre funções exponenciais (mini‑aula sobre monotonicidade):
- Se a base
satisfaz , então a função é crescente: se e somente se . - Se
, a função é decrescente: se e somente se .
No nosso caso a base é
, então a desigualdade entre potências preserva a ordem dos expoentes. Portanto a inequação é equivalente à desigualdade entre os expoentes:
(Observação didática: se tivéssemos mantido a base
à esquerda e tentado comparar diretamente, lembraríamos que
e aí a desigualdade se inverteria ao passar para os expoentes. Por isso é mais seguro passar tudo para a mesma base
, como fizemos.)
Passo 4
Resolvendo a desigualdade linear em
:
Somando
aos dois lados:
Somando
aos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
(positivo, então a desigualdade não se inverte):
ou seja
Passo 5
Interpretação final:
- O conjunto solução é todos os números reais menores que
. - Em notação de intervalo isso é
. - Na reta real: pintar todos os pontos à esquerda de
e colocar um círculo aberto em (pois o valor não pertence à solução). Em decimal, .