Mostre, usando a definição de limite, que:
(b) lim (x, y) (a, b) 2 x+y=2 a+b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em R^2, que
lim(x,y)to(a,b)l(2x+yr)=2a+b
O conteúdo aqui é a prova varepsilon- de<a para funções de duas variáveis. Vamos precisar tomar um varepsilon>0 genérico e encontrar um de<a>0 tal que, sempre que a distância entre (x,y) e (a,b) for menor que de<a, o valor de l|2x+y-(2a+b)r| fique abaixo de varepsilon.

Passo 2

Começamos tomando um varepsilon>0 qualquer e escrevemos o que queremos:
l|2x+y - (2a+b)r| < varepsilon
sempre que
raiz(x-a)^2 + (y-b)^2 < de<a
Nosso objetivo é expressar l|2x+y-(2a+b)r| em termos de raiz(x-a)^2+(y-b)^2.

Passo 3

Repare que
l|2x+y - (2a+b)r| = l|2(x-a) + (y-b)r| <= 2,|x-a| + |y-b|
Agora usamos a desigualdade
|x-a|<= raiz(x-a)^2+(y-b)^2
e idem para |y-b|. Assim
2,|x-a| + |y-b| <= 2,raiz(x-a)^2+(y-b)^2 + 1cdotraiz(x-a)^2+(y-b)^2 = 3,raiz(x-a)^2+(y-b)^2

Passo 4

Para garantir 3,raiz(x-a)^2+(y-b)^2<varepsilon, basta escolher
de<a = varepsilon3
De fato, se raiz(x-a)^2+(y-b)^2<de<a, então
l|2x+y-(2a+b)r| <= 3,raiz(x-a)^2+(y-b)^2 < 3,de<a = varepsilon
Isso conclui a prova pelo critério varepsilon- de<a.

Resposta

lim(x,y)to(a,b)l(2x+yr)=2a+b

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