Com o uso de integração, determine:
a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2), B(2,1) e C(3,3).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo com vértices A(1,2), B(2,1) e C(3,3) usando cálculo integral. Vamos usar que a área de uma região entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) é
integrala^b l(f(x)-g(x)r),dx
Precisamos determinar as fronteiras superior e inferior do triângulo em função de x e os intervalos de integração.

Passo 2

A reta que liga A(1,2) a C(3,3) tem coeficiente angular
mAC = 3-23-1 = tfrac12,
logo sua equação é
y - 2 = tfrac12(x-1) Longrightarrow y = tfrac12 x + tfrac32

Passo 3

A reta que liga A(1,2) a B(2,1) tem coeficiente angular
mAB = 1-22-1 = -1,
logo sua equação é
y - 2 = -1,(x-1) Longrightarrow y = -x + 3

Passo 4

A reta que liga B(2,1) a C(3,3) tem coeficiente angular
mBC = 3-13-2 = 2,
logo sua equação é
y - 1 = 2,(x-2) Longrightarrow y = 2x - 3

Passo 5

Para x em [1,2], a fronteira superior é a reta AC e a inferior é AB. A contribuição da área neste trecho é
I1 = integral1^2 l[(tfrac12 x + tfrac32)-(-x+3)r],dx = integral1^2 (tfrac32 x - tfrac32),dx

Passo 6

Para x em [2,3], a fronteira superior continua sendo AC e a inferior passa a ser BC. A área neste trecho é
I2 = integral2^3 l[(tfrac12 x + tfrac32)-(2x-3)r],dx = integral2^3 (-tfrac32 x + tfrac92),dx

Passo 7

Calculando I1:
I1 = integral1^2 (tfrac32 x - tfrac32),dx = l[tfrac34 x^2 - tfrac32 xr]1^2 = (3 - 3) - l(tfrac34 - tfrac32r) = 0 - (-tfrac34) = tfrac34 = 0,75
Calculando I2:
I2 = integral2^3 (-tfrac32 x + tfrac92),dx = l[-tfrac34 x^2 + tfrac92 xr]2^3 = l(-tfrac274 + tfrac272r) - (-3 + 9) = ( -6,75 + 13,5 ) - 6 = 6,75 - 6 = 0,75
Somando, a área do triângulo é
Área = I1 + I2 = 0,75 + 0,75 = 1,5 Á

Resposta

A área do triângulo é 1,5.

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