Mostre, usando o princípio de indução, que:
1+x+x^2+cdots+x^n-1=x^n-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar, usando o princípio da indução, que a soma da sequência 1 + x + x^2 + cdots + x^n-1 é igual a x^n - 1x - 1. Isso está relacionado ao conteúdo de progressões geométricas e prova matemática por indução. Para isso, precisamos entender como funciona a indução matemática e aplicar isso na nossa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio da indução. Esse método de prova tem dois passos principais:
  1. Base da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente n = 1.
  2. Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum n = k e então mostramos que ela também é verdadeira para n = k + 1.
Vamos começar aplicando essa abordagem.

Passo 3

Base da Indução ( n = 1):
Vamos substituir n = 1 na expressão original:
1 = x^1 - 1x - 1
Simplificando o lado direito:
x - 1x - 1 = 1
Então, a igualdade vale para n = 1. A base da indução está confirmada!

Passo 4

Passo Indutivo:
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para n = k:
1 + x + x^2 + cdots + x^k-1 = x^k - 1x - 1
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade para n = k, então também é verdade para n = k + 1.

Passo 5

Vamos considerar a soma para n = k + 1:
1 + x + x^2 + cdots + x^k-1 + x^k
Pelo passo anterior, sabemos que a parte 1 + x + x^2 + cdots + x^k-1 é igual a x^k - 1x - 1. Então, substituindo:
x^k - 1x - 1 + x^k

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos x^k como uma fração com denominador x - 1:
x^k - 1x - 1 + x^k(x - 1)x - 1 = x^k - 1 + x^k(x - 1)x - 1
Simplificando o numerador:
x^k - 1 + x^k cdot x - x^k = x^k+1 - 1
Então, a expressão fica:
x^k+1 - 1x - 1

Passo 7

Chegamos à conclusão:
1 + x + x^2 + cdots + x^k = x^k+1 - 1x - 1
Isso mostra que, se a fórmula é verdadeira para n = k, também é verdadeira para n = k + 1.

Resposta

Portanto, pelo princípio da indução, mostramos que para todo inteiro n >= 1:
1 + x + x^2 + cdots + x^n-1 = x^n - 1x - 1

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