Mostre, usando o princípio de indução, que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar, usando o princípio da indução, que a soma da sequência
é igual a
. Isso está relacionado ao conteúdo de progressões geométricas e prova matemática por indução. Para isso, precisamos entender como funciona a indução matemática e aplicar isso na nossa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio da indução. Esse método de prova tem dois passos principais:
- Base da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente
. - Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
e então mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos começar aplicando essa abordagem.
Passo 3
Base da Indução (
):
Vamos substituir na expressão original:
Vamos substituir
Simplificando o lado direito:
Então, a igualdade vale para
. A base da indução está confirmada!
Passo 4
Passo Indutivo:
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para :
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade para
, então também é verdade para
.
Passo 5
Vamos considerar a soma para
:
Pelo passo anterior, sabemos que a parte
é igual a
. Então, substituindo:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos
como uma fração com denominador
:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Chegamos à conclusão:
Isso mostra que, se a fórmula é verdadeira para
, também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, pelo princípio da indução, mostramos que para todo inteiro
: