Simplifique a seguinte expressão: f(x)-f(a)x-a, x neq a, se:
a) f(x)=x^2, a=1
b) f(x)=x^3, a=-2
c) f(x)=x^2+x, a=-1
d) f(x)=1x, a=1
e) f(x)=2 x+1, a=2
f) f(x)=1x^2, a=2

Passo 1

Vamos simplificar a expressão f(x)-f(a)x-a onde f(x) = x^2 e a = 1. Isso faz parte do conteúdo de diferenças quocientes, que é fundamental para entender derivadas.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(a):
f(1) = 1^2 = 1

Passo 3

Substituímos f(x) e f(a) na expressão:
x^2 - 1x - 1

Passo 4

Simplificamos o numerador fatorando:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Passo 5

Cancelamos o fator comum (x - 1):
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1, desde que x neq 1

Passo 6

Vamos simplificar f(x)-f(a)x-a com f(x) = x^3 e a = -2. Novamente, usamos diferenças quocientes.

Passo 7

Calculamos f(a):
f(-2) = (-2)^3 = -8

Passo 8

Substituímos f(x) e f(a) na expressão:
x^3 - (-8)x - (-2) = x^3 + 8x + 2

Passo 9

Fatoramos o numerador usando a soma de cubos:
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)

Passo 10

Cancelamos o fator comum (x + 2):
(x + 2)(x^2 - 2x + 4)x + 2 = x^2 - 2x + 4, desde que x neq -2

Passo 11

Vamos simplificar f(x)-f(a)x-a onde f(x) = x^2 + x e a = -1. Continuamos com diferenças quocientes.

Passo 12

Calculamos f(a):
f(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0

Passo 13

Substituímos f(x) e f(a) na expressão:
x^2 + x - 0x - (-1) = x^2 + xx + 1

Passo 14

Fatoramos o numerador:
x^2 + x = x(x + 1)

Passo 15

Cancelamos o fator comum (x + 1):
x(x + 1)x + 1 = x, desde que x neq -1

Passo 16

Vamos simplificar f(x)-f(a)x-a com f(x) = 1x e a = 1. Usaremos diferenças quocientes.

Passo 17

Calculamos f(a):
f(1) = 11 = 1

Passo 18

Substituímos f(x) e f(a) na expressão:
1x - 1x - 1

Passo 19

Simplificamos o numerador:
1 - xx(x - 1) = -(x - 1)x(x - 1)

Passo 20

Cancelamos o fator comum (x - 1):
-1x, desde que x neq 1

Passo 21

Vamos simplificar f(x)-f(a)x-a onde f(x) = 2x + 1 e a = 2. Continuamos com diferenças quocientes.

Passo 22

Calculamos f(a):
f(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5

Passo 23

Substituímos f(x) e f(a) na expressão:
2x + 1 - 5x - 2 = 2x - 4x - 2

Passo 24

Fatoramos o numerador:
2x - 4 = 2(x - 2)

Passo 25

Cancelamos o fator comum (x - 2):
2(x - 2)x - 2 = 2, desde que x neq 2

Passo 26

Vamos simplificar f(x)-f(a)x-a com f(x) = 1x^2 e a = 2. Usaremos diferenças quocientes.

Passo 27

Calculamos f(a):
f(2) = 1(2)^2 = 14

Passo 28

Substituímos f(x) e f(a) na expressão:
1x^2 - 14x - 2

Passo 29

Simplificamos o numerador:
4 - x^24x^2 = -(x^2 - 4)4x^2 = -(x - 2)(x + 2)4x^2

Passo 30

Cancelamos o fator comum (x - 2):
-(x + 2)4x^2, desde que x neq 2

Resposta

A expressão simplificada é -x + 24x^2.

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