Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) y=x^4+x^3-x^2
b) y=2+(x-1)^3
c) y=x-1x+4
d) y=sen(3 x)
e) y=sech(3 x)
f) y=log (x-1)

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar seis gráficos de diferentes funções: três polinomiais/racionais, uma trigonométrica, uma hiperbólica e um logarítmica. Vamos precisar analisar domínio, interceptos, comportamento em extremos, derivadas (para monotonia e concavidade) e assíntotas quando existirem.

Passo 2

Para a função y = x^4 + x^3 - x^2: identifique o domínio (todos os reais), calcule interceptos com os eixos (em x=0 y=0; resolva x^2(x^2 + x -1)=0 para raízes em x=0 e x=-1pmraiz52). Use a derivada y'=4x^3+3x^2-2x=x(4x^2+3x-2) para achar intervalos de crescimento/decrescimento e possíveis extremos. Depois use y''=12x^2+6x-2 pra concavidade e pontos de inflexão. Com esses dados, esboce a curva polinomial de grau 4 com forma de “W” levemente assimétrica.

Passo 3

Para y = 2 + (x-1)^3: é um polinômio de grau 3 deslocado. Domínio é R. O ponto de inflexão fica em x=1, y=2. A derivada y'=3(x-1)^2 nunca muda de sinal (sempre >=0), logo a função é estritamente crescente, mas o crescimento é “achatado” no inflexão. Basta desenhar a cúbica padrão x^3 deslocada para a direita em 1 e para cima em 2.

Passo 4

Para y = x-1x+4: domínios são todos os reais exceto x=-4. Há assíntota vertical em x=-4 e horizontal em y=1 (pois grau do numerador igual ao do denominador e coeficientes iguais). Intercepto em x=1, y=0. A derivada y'=(x+4)-(x-1)(x+4)^2=5(x+4)^2>0 mostra que é sempre crescente em cada ramo. Esboce dois ramos hiperbólicos aproximando-se das assíntotas.

Passo 5

Para y=sin(3x): domínio R, amplitude 1, período 2pi3. Zeros em x=kpi3, kin Z. Máximos em x=pi6+k2pi3, y=1 e mínimos em x=5pi6+k2pi3, y=-1. Desenhe a senoide comprimida no eixo x por fator 3.

Passo 6

Para y=sech(3x): sech(u)=1/cosh(u). Domínio R, imagem em (0,1]. Função é par (simétrica em torno de x=0), com pico em x=0, y=1 e decai exponencialmente para zero quando xtopminfty. Perceba que o “lugar geométrico” é um saliente gordo no centro que afina pra 0.

Passo 7

Para y=log(x-1): domínio x>1. Há assíntota vertical em x=1. Intercepto em x=2, y=0. É crescente e côncava para baixo (pois a derivada 1/(x-1) é positiva e decrescente). Esboce o típico gráfico logarítmico deslocado para a direita em 1.

Passo 8

Em cada caso, use os pontos-chave, assíntotas, intervalos de monotonia e concavidade para desenhar de modo informal a forma da curva.

Resposta

a) Curva de grau 4 com formato de “W” assimétrico, cruzando o eixo em 0 e em -1pmraiz52, com dois mínimos locais e um máximo local.
b) Cúbica padrão, só que deslocada para a direita em 1 e para cima em 2, com ponto de inflexão em (1,2) e sempre crescente.
c) Hiperbólica com assíntota vertical em x=-4 e horizontal em y=1, intercepto em (1,0) e cada ramo crescente.
d) Senoide de amplitude 1 e período 2pi/3, zeros em x=kpi/3, máximos e mínimos a cada pi/3.
e) Campânula hiperbólica sech(3x): pico em (0,1), decaimento simétrico exponencial aos dois lados.
f) Logarítmica deslocada: domínio x>1, assíntota em x=1, intercepto em (2,0), crescente e côncava para baixo.

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