Esboce o gráfico das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado pede pra esboçar seis gráficos de diferentes funções: três polinomiais/racionais, uma trigonométrica, uma hiperbólica e um logarítmica. Vamos precisar analisar domínio, interceptos, comportamento em extremos, derivadas (para monotonia e concavidade) e assíntotas quando existirem.
Passo 2
Para a função
: identifique o domínio (todos os reais), calcule interceptos com os eixos (em
dá
; resolva
para raízes em
e
). Use a derivada
para achar intervalos de crescimento/decrescimento e possíveis extremos. Depois use
pra concavidade e pontos de inflexão. Com esses dados, esboce a curva polinomial de grau 4 com forma de “W” levemente assimétrica.
Passo 3
Para
: é um polinômio de grau 3 deslocado. Domínio é
. O ponto de inflexão fica em
. A derivada
nunca muda de sinal (sempre
), logo a função é estritamente crescente, mas o crescimento é “achatado” no inflexão. Basta desenhar a cúbica padrão
deslocada para a direita em 1 e para cima em 2.
Passo 4
Para
: domínios são todos os reais exceto
. Há assíntota vertical em
e horizontal em
(pois grau do numerador igual ao do denominador e coeficientes iguais). Intercepto em
. A derivada
mostra que é sempre crescente em cada ramo. Esboce dois ramos hiperbólicos aproximando-se das assíntotas.
Passo 5
Para
: domínio
, amplitude 1, período
. Zeros em
. Máximos em
e mínimos em
. Desenhe a senoide comprimida no eixo
por fator 3.
Passo 6
Para
:
. Domínio
, imagem em
. Função é par (simétrica em torno de
), com pico em
e decai exponencialmente para zero quando
. Perceba que o “lugar geométrico” é um saliente gordo no centro que afina pra 0.
Passo 7
Para
: domínio
. Há assíntota vertical em
. Intercepto em
. É crescente e côncava para baixo (pois a derivada
é positiva e decrescente). Esboce o típico gráfico logarítmico deslocado para a direita em 1.
Passo 8
Em cada caso, use os pontos-chave, assíntotas, intervalos de monotonia e concavidade para desenhar de modo informal a forma da curva.
Resposta
a) Curva de grau 4 com formato de “W” assimétrico, cruzando o eixo em 0 e em
, com dois mínimos locais e um máximo local.
b) Cúbica padrão, só que deslocada para a direita em 1 e para cima em 2, com ponto de inflexão em e sempre crescente.
c) Hiperbólica com assíntota vertical em e horizontal em
, intercepto em
e cada ramo crescente.
d) Senoide de amplitude 1 e período , zeros em
, máximos e mínimos a cada
.
e) Campânula hiperbólica : pico em
, decaimento simétrico exponencial aos dois lados.
f) Logarítmica deslocada: domínio , assíntota em
, intercepto em
, crescente e côncava para baixo.
b) Cúbica padrão, só que deslocada para a direita em 1 e para cima em 2, com ponto de inflexão em
c) Hiperbólica com assíntota vertical em
d) Senoide de amplitude 1 e período
e) Campânula hiperbólica
f) Logarítmica deslocada: domínio